北京市东城区2018届九年级上期末考试数学试题（含答案解析）.docx

北京市东城区 2018 届九年级上学期期末考试数学试题 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）‎ 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；‎ B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；‎ C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误； D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误． 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合．‎ 2. 边长为 2 的正方形内接于⊙M，则⊙M 的半径是（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【分析】连接 OB，CO，在 Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解． 解：连接 OB，OC，则 OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，‎ 在 Rt△BOC 中，OC=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．‎ 1. 若要得到函数 y=（x+1）2+2 的图象，只需将函数 y=x2 的图象（ ）‎ A. 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 B. 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C. 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D. 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 ‎【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由 a 值不变即可找出结论．‎ 解：∵抛物线 y=（x+1）2+2 的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线 y=x2 的顶点坐标为 ‎（0，0），‎ ‎∴将抛物线y=x2 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度即可得出抛物线 y=（x+1）2+2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．‎ 2. 点 A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若 x1＜x2＜0，则 ‎（ ）‎ A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0‎ ‎【分析】由 k=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．‎ 解：∵k=2＞0，‎ ‎∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，‎ ‎∵x1＜x2＜0，‎ ‎∴点 A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，‎ ‎∴y2＜y1＜0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．‎ 1. A，B 是⊙O 上的两点，OA=1， 的长是，则∠AOB 的度数是（ ）‎ A．30 B．60° C．90° D．120°‎ ‎【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．‎ 解：∵OA=1， 的长是，‎ ‎∴，‎ 解得：n=60°，‎ ‎∴∠AOB=60°， 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．‎ 2. ‎△DEF 和△ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别是 OA，OB， OC 的中点，若△DEF 的面积是 2，则△ABC 的面积是（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】根据点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即 =，据此可得答案．‎ 解：∵点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∴△DEF 与△ABC 的相似比是 1：2，‎ ‎∴ =（ ）2，即 = ，‎ 解得：S△ABC=8， 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．‎ 1. 已知函数 y=﹣x2+bx+c，其中 b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（ ）‎ A. B．‎ C． D．‎ ‎【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与 x 和 y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象． 解：∵a=﹣1＜0，b＞0，c＜0，‎ ‎∴该函数图象的开口向下，对称轴是 x=﹣＞0，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴 上 ； 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数．‎ 移植棵数（n）‎ 成活数（m ‎） 成活率 ‎（m/n）‎ 移植棵数 ‎（n）‎ 成活数（m ‎） 成活率 ‎（m/n）‎ ‎50‎ ‎47‎ ‎0.940‎ ‎1500‎ ‎1335‎ ‎0.890‎ ‎270‎ ‎235‎ ‎0.870‎ ‎3500‎ ‎3203‎ ‎0.915‎ 2. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：‎ ‎400‎ ‎369‎ ‎0.923‎ ‎7000‎ ‎6335‎ ‎0.905‎ ‎750‎ ‎662‎ ‎0.883‎ ‎14000‎ ‎12628‎ ‎0.902‎ 下面有四个推断：‎ ‎①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概率是 0.890；‎ ‎②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是 0.900；‎ ‎③若小张移植 10 000 棵这种树苗，则可能成活 9 000 棵；‎ ‎④若小张移植 20 000 棵这种树苗，则一定成活 18 000 棵． 其中合理的是（ ）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是 0.900，据此进行判断即可．‎ 解：①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，这种树苗成活的概率不一定是 0.890，故错误；‎ ‎②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是 0.900，故正确；‎ ‎③若小张移植 10 000 棵这种树苗，则可能成活 9 000 棵，故正确；‎ ‎④若小张移植 20 000 棵这种树苗，则不一定成活 18 000 棵，故错误． 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．‎ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）‎ 1. 已知在△ABC 中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么 AC= 2 ．‎ ‎【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形 ABC 中，cosA=，即可求得 AC 的长．‎ 解：在△ABC 中，∠C=90°，‎ ‎∵cosA= ，‎ ‎∵cosA= ，AB=6，‎ ‎∴AC= AB=2，‎ 故答案为 2．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．‎ 1. 若抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴没有交点，写出一个满足条件的 c 的值： 2 ．‎ ‎【分析】根据抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴没有交点得出 b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0， 求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．‎ 解：因为要使抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴没有交点，必须 b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0， 解得：c＞1，‎ 取 c=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，能根据已知得出关于 c 的不等式是解此题的关键．‎ 2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若点 B 与点 A 关于点 O 中心对称，则点 B 的坐标为 （2，﹣1） ．‎ ‎【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定 B 点位置即可． 解：∵A（﹣2，1），点 B 与点 A 关于点 O 中心对称，‎ ‎∴点 B 的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握 把一个图形绕着某个点旋转 ‎180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称 或中心对称，这个点叫做对称中心．‎ 1. 如图，AB 是⊙O 的弦，C 是 AB 的中点，连接 OC 并延长交⊙O 于点 D．若CD=1，AB=4，则⊙O 的半径是 ．‎ ‎【分析】连接 OA，根据垂径定理求出 AC 的长，由勾股定理可得出 OA 的长． 解：连接 OA，‎ ‎∵C 是 AB 的中点，‎ ‎∴AC= AB=2，OC⊥AB，‎ ‎∴OA2=OC2+AC2，即 OA2=（OA﹣1）2+22，‎ 解得，OA= ， 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出 OC 是 AB 的垂直平分线是解答此题的关键．‎ 2. 某校九年级的 4 位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高 1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边 AB，OA 的长分别为 0.7m，0.3m，观测点 O 到旗杆的距离 OE 为 6m，则旗杆 MN 的高度为 15 m．‎ ‎【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆 MN 的高度．‎ 解：∵AB∥NE，‎ ‎∴△ABO∽△NEO，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：NE=14，‎ ‎∴MN=14+1=15，‎ 故答案为：15‎ ‎【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．‎ 1. ‎⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD，则正确结论的序号是 ②⑤ ．‎ ‎①AB=AD； ②BC=CD； ③ ； ④∠BCA=∠DCA； ⑤ ．‎ ‎【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．‎ 解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与 AD 不一定相等，故本结论错误；‎ ‎②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；‎ ‎③∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；‎ ‎④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；‎ ‎⑤∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确． 故答案为②⑤．‎ ‎【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．‎ 1. 已知函数 y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a 时，函数的最小值是﹣4，则实数 a 的取值范围是 a≥1 ．‎ ‎【分析】结合函数 y=x2﹣2x﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数 a 的取值范围．‎ 解：函数 y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以 x=1 为对称轴的抛物线，‎ 当且仅当 x=1 时，函数取最小值﹣4，‎ ‎∵函数 y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a 时，函数的最小值是﹣4，‎ ‎∴a≥1，‎ 故答案为：a≥1‎ ‎【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ 2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（8，0），C（0，6），矩形 OABC 的对角线交于点 P，点 M 在经过点 P 的函数 y= 的图象上运动，k 的 值为 12 ，OM 长的最小值为 ．‎ ‎【分析】先根据 P（4，3），求得 k=4×3=12，进而得出 y=，再根据双曲线的对称性可得，当点 M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，即当 x=y 时，x=， 解得 x=±2，进而得到 OM 的最小值．‎ 解：∵A（8，0），C（0，6），矩形 OABC 的对角线交于点 P，‎ ‎∴P（4，3），‎ 代入函数 y=可得，k=4×3=12，‎ ‎∴y= ，‎ ‎∵点 M 在经过点 P 的函数 y=的图象上运动，‎ ‎∴根据双曲线的对称性可得，当点 M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，‎ 当 x=y 时，x=，‎ 解得 x=±2， 又∵x＞0，‎ ‎∴x=2 ，‎ ‎∴M（2，2），‎ ‎∴OM= =2 ，‎ 故答案为：12，2．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．‎ 三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26-27，‎ 每小题 5 分，第 28 题 8 分）‎ ‎17．（5 分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．‎ ‎【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．‎ 解：原式=2×﹣2×+3 + ﹣1，‎ ‎=﹣+3+﹣1，‎ ‎=4﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．‎ ‎18．（5 分）已知等腰△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数．‎ ‎【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形 2 种情况解答即可． 解：（1）圆心 O 在△ABC 外部，‎ 在优弧 BC 上任选一点 D，连接 BD，CD．‎ ‎∴∠BDC= ∠BOC=50°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；‎ ‎（2）圆心 O 在△ABC 内部．∠BAC=∠BOC=50°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半； 圆内接四边形的对角互补．‎ ‎19．（5 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点 E 在 AB 上，∠DEC=90°．‎ （1） 求证：△ADE∽△BEC．‎ （2） 若 AD=1，BC=3，AE=2，求 AB 的长．‎ ‎【分析】（1）由 AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；‎ ‎（2）根据相似三角形的性质即可求出 BE 的长度，结合 AB=AE+BE 即可求出 AB 的长度．‎ （1） 证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，‎ ‎∴∠ADE+∠AED=90°．‎ ‎∵∠DEC=90°，‎ ‎∴∠AED+∠BEC=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠BEC，‎ ‎∴△ADE∽△BEC．‎ （2） 解：∵△ADE∽△BEC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴BE= ，‎ ‎∴AB=AE+BE= ．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：‎ ‎（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出 BE 的长度．‎ ‎20．（5 分）在△ABC 中，∠B=135°，AB=，BC=1．‎ （1） 求△ABC 的面积；‎ （2） 求 AC 的长．‎ ‎【分析】（1）延长 CB，过点 A 作 AD⊥BC，利用三角函数求出 AD，根据三角形的面积公式计算即可；‎ ‎（2）等腰直角三角形的判定与性质得到 AD=DB=2，进一步得到 DC，再根据勾股定理即可求解．‎ 解：（1）延长 CB，过点 A 作 AD⊥BC，‎ ‎∵∠ABC=135°，‎ ‎∴∠ABD=45°，‎ 在 Rt△ABD 中，AB=，∠ABD=45°，‎ ‎∴AD=AB×sin45°=2，‎ ‎∴△ABC 的面积=×BC×AD=1；‎ ‎（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，‎ ‎∴△ABD 是等腰直角三角形，‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，‎ 在 Rt△ACD 中，AC==．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题 的关键．‎ ‎21．（5 分）北京 2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学） 五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．‎ （1） 写出所有选考方案（只写选考科目）；‎ （2） 从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．‎ ‎【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；‎ ‎（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．‎ 解：（1）由题意可得，所有的可能性是：‎ ‎（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、‎ ‎（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、‎ ‎（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；‎ ‎（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是 ‎，‎ 即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是 ．‎ ‎【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．‎ ‎22．（5 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△A'BC'，其中点 A'，C'分别是点 A，C 的对应点．‎ （1） 作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；‎ （2） 连接 AA'，求∠C'A'A 的度数．‎ ‎【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；‎ ‎（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案． 解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；‎ ‎（2）在 Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，‎ ‎∴△A′B′C′≌△ABC，‎ ‎∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，‎ ‎∴△ABA′为等腰三角形， 又∵∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABA′为等边三角形，‎ ‎∴∠BA′A=60°，‎ ‎∴∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．‎ ‎【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．‎ ‎23．（5 分）如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位： m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h=20t﹣5t2．‎ （1） 小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？‎ （2） 小球飞行时间 t 在什么范围时，飞行高度不低于 15m？‎ ‎【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；‎ ‎（2）画图象可得 t 的取值．‎ 解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，‎ ‎∴当 t=2 时，h 取得最大值 20 米；‎ 答：小球飞行时间是 2s 时，小球最高为 20m；‎ ‎（2）由题意得：15=20t﹣5t2， 解得：t1=1，t2=3，‎ 由图象得：当 1≤t≤3 时，h≥15，‎ 则小球飞行时间 1≤t≤3 时，飞行高度不低于 15m．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．‎ ‎24．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+4 与反比例函数 y=（k≠0）‎ 的图象交于点 A（﹣3，a）和点 B．‎ （1） 求反比例函数的表达式和点 B 的坐标；‎ （2） 直接写出不等式 ＜2x+4 的解集．‎ ‎【分析】（1）把 A（﹣3，a）代入 y=2x+4，可得 A（﹣3，﹣2），把 A（﹣3，﹣ 2）代入 y=，可得反比例函数的表达式为 y=，再联立两个函数的解析式， 解方程组即可得到 B 的坐标；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2x+4 的解集．‎ 解：（1）把 A（﹣3，a）代入 y=2x+4，可得 a=﹣2，‎ ‎∴A（﹣3，﹣2），‎ 把 A（﹣3，﹣2）代入 y=，可得 k=6，‎ ‎∴反比例函数的表达式为 y=．‎ 解方程组 ，得或，‎ ‎∴B（1，6）；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中画出直线 y=2x+4 与双曲线 y=，如图． 由图象可知，不等式 ＜2x+4 的解集为﹣3＜x＜0 或 x＞1．‎ ‎【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．‎ ‎25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 与边 BC，AC 分别交于点 D，E．DF 是⊙O 的切线，交 AC 于点 F．‎ （1） 求证：DF⊥AC；‎ （2） 若 AE=4，DF=3，求 tanA．‎ ‎【分析】（1）连接 OD，作 OG⊥AC 于点 G，推出∠ODB=∠C；然后根据 DF⊥AC，‎ ‎∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；‎ ‎（2）过 O 作 OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．‎ （1） 证明：如图，连接 OD，作 OG⊥AC 于点 G，‎ ‎，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠ODB=∠B， 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠C=∠B，‎ ‎∴∠ODB=∠C，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴∠DFC=90°，‎ ‎∴∠ODF=∠DFC=90°，‎ ‎∴DF⊥AC；‎ （1） 过 O 作 OG⊥AC，‎ 由垂径定理可知：OG 垂直平分 AE，‎ ‎∴∠AGO=90°，AG=2，‎ 由（1）可知：四边形 ODFG 为矩形，‎ ‎∴OG=DF=3，‎ 在 Rt△AGO 中，tanA=．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．‎ ‎26．（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2﹣2mx+n（m≠0）与 x 轴交于点 A，B，点 A 的坐标为（﹣2，0）．‎ （1） 写出抛物线的对称轴；‎ （2） 直线 y=x﹣4m﹣n 过点 B，且与抛物线的另一个交点为 C．‎ ‎①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；‎ ‎②点 P 为抛物线对称轴上的动点，过点 P 的两条直线 l1：y=x+a 和 l2：y=﹣x+b 组成图形 G．当图形 G 与线段 BC 有公共点时，直接写出点 P 的纵坐标 t 的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）①根据抛物线的对称性可得出点 B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出 m、n 的值，此问得解；‎ ‎②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点 C 的坐标， 利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2 过点 B、C 时 b 的值，进而可得出点 P 的坐标，再结合函数图象即可找出当图形 G 与线段 BC 有公共点时，点P 的纵坐标 t 的取值范围．‎ 解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为 y=mx2﹣2mx+n，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣=1．‎ ‎（2）①∵抛物线是轴对称图形，‎ ‎∴点 A、B 关于直线 x=1 对称．‎ ‎∵点 A 的坐标为（﹣2，0），‎ ‎∴点 B 的坐标为（4，0）．‎ ‎∵抛物线 y=mx2﹣2mx+n 过点 B，直线 y=x﹣4m﹣n 过点 B，‎ ‎，‎ ‎∴直线所对应的函数表达式为 y=x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为 y=﹣ x2+x+4．‎ ‎②联立两函数表达式成方程组， ，‎ 解得： ， ．‎ ‎∵点 B 的坐标为（4，0），‎ ‎∴点 C 的坐标为（﹣3，﹣）．‎ 当直线 l2：y=﹣x+b1 过点 B 时，0=﹣4+b1， 解得：b1=4，‎ ‎∴此时直线 l2 所对应的函数表达式为 y=﹣x+4， 当 x=1 时，y=﹣x+4=3，‎ ‎∴点 P1 的坐标为（1，3）；‎ 当直线 l2：y=﹣x+b2 过点 C 时，﹣ =3+b2， 解得：b2=﹣ ，‎ ‎∴此时直线 l2 所对应的函数表达式为 y=﹣x﹣， 当 x=1 时，y=﹣x﹣=﹣，‎ ‎∴点 P2 的坐标为（1，﹣）．‎ ‎∴当图形 G 与线段 BC 有公共点时，点 P 的纵坐标 t 的取值范围为﹣ ≤t≤3．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于 m、n 的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线 l2 过点 B、C 时点 P 的坐标．‎ ‎27．（7 分）如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点 B 为圆心， 为半径作圆．点 P 为⊙B 上的动点，连接 PC，作 P'C⊥PC，使点 P'落在直线 BC 的上方，且满足 P'C：PC=1：，连接 BP，AP'．‎ （1） 求∠BAC 的度数，并证明△AP'C∽△BPC；‎ （2） 若点 P 在 AB 上时，‎ ‎①在图 2 中画出△AP′C；‎ ‎②连接 BP'，求 BP'的长；‎ （3） 点 P 在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出 BP'取得最大值或最小值时∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，‎ ‎②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；‎ （2） ‎①利用垂直和线段的关系即可画出图形；‎ ‎②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出 AP'，即可得出结论；‎ （3） 先求出 AP'=1 是定值，判断出点 P'在以点 A 为圆心，1 为半径的圆上，即可得出结论．‎ 解：（1）①在 Rt△ABC 中，AC=2，BC=2，‎ ‎∴tan∠BAC= =，‎ ‎∴∠BAC=60°；‎ ‎②∵‎ ‎∴‎ ‎，==，‎ ‎，‎ ‎∵P'C⊥PC，‎ ‎∴∠PCP'=∠ACB=90°，‎ ‎∴∠P'CA=PCB，‎ ‎∴△AP'C∽△BPC；‎ ‎（2）①如图 1 所示；‎ ‎②如图 2，由（1）知，∠BAC=60°，‎ ‎∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，‎ ‎∴AB=2AC=4，‎ ‎∵△AP'C∽△BPC，‎ ‎∴∠P'AC=∠PBC=30°， ，‎ ‎∵点 P 在 AB 上，‎ ‎∴BP= ，‎ ‎∴AP'=1；‎ 连接 P'B，‎ ‎∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，‎ 在 Rt△P'AB 中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= = ；‎ ‎（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ ‎∴AP'=1 是定值，‎ ‎∴点 P'是在以点 A 为圆心，半径为 AP'=1 的圆上，‎ ‎①如图 3，‎ 点 P'在 BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，‎ ‎∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，‎ ‎∵△AP'C∽△BPC，‎ ‎∴∠P'AC=PBC=120°，‎ ‎∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；‎ ‎②如图 4，点 P'在线段 AB 上时，BP'取得最小值，‎ ‎∵△AP'C∽△BPC，‎ ‎∴∠PBC=∠BAC=60°，‎ ‎∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．‎ ‎【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．‎ ‎28．（8 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 G，若在图形 G 上存在一点 N，使 M，N 两点间的距离等于 1，则称 M 为图形 G 的和睦点．‎ ‎（1）当⊙O 的半径为 3 时，在点 P1（1，0），P2（ ，1），P3（，0），P4（5，‎ ‎0）中，⊙O 的和睦点是 P2、P3 ；‎ （2） 若点 P（4，3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径 r 的取值范围；‎ （3） 点 A 在直线 y=﹣1 上，将点 A 向上平移 4 个单位长度得到点 B，以 AB 为边构造正方形 ABCD，且 C，D 两点都在 AB 右侧．已知点 E（，），若线段 OE 上的所有点都是正方形 ABCD 的和睦点，直接写出点 A 的横坐标 xA 的取值范围．‎ ‎【分析】（1）分别以点 P1，P2，P3，P4 为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点， 则 P 是，⊙O 的和睦点；‎ （2） 如图 2 中，连接 OP．直线 OP 交以 P 为圆心半径为 1 的圆于 A、B．满足条件的⊙O 必须与以 P 为圆心半径为 1 的圆相交或相切，当 OA=4 时，得到 r 的最小值为 4，当 OB=6 时，得到 r 的最大值为 6；‎ （3） 分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；‎ 解：（1）如图 1 中，分别以点 P1，P2，P3，P4 为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则 P 是，⊙O 的和睦点，‎ 观察图象可知，⊙O 的和睦点是 P2、P3． 故答案为：P2、P3．‎ （2） 如图 2 中，连接 OP．直线 OP 交以 P 为圆心半径为 1 的圆于 A、B．‎ ‎∵P（4，3），‎ ‎∴OP=5，‎ 满足条件的⊙O 必须与以 P 为圆心半径为 1 的圆相交或相切， 当 OA=4 时，得到 r 的最小值为 4，‎ 当 OB=6 时，得到 r 的最大值为 6，‎ ‎∴4≤r≤6．‎ （2） ‎①如图 3 中，当点 O 到 C′D′的距离 OM=1 时，此时点 A′的横坐标为﹣3． 当点 E 到 CD 的距离 EN=1 时，此时点 A 的横坐标为﹣5，‎ ‎∴﹣5≤xA≤﹣3 时，满足条件；‎ ‎②）①如图 3 中，当点 O 到 A′B′的距离OM=1 时，此时点 A′的横坐标为 1‎ 当点 E 到 AB 的距离 EN=1 时，点 A 的横坐标为﹣1，‎ ‎∴﹣1≤xA≤1 时，满足条件；‎ 综上所述，满足条件的当 A 的横坐标的取值范围为：﹣5≤xA≤﹣3 或﹣1‎ ‎≤xA≤1．‎ ‎【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键 是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考压轴题．‎