蒙阴县实验中学高三上学期第二次质量检测
数学试题（理科）
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若全集U=R，集合，B={}，则=（ ）
A．{} B．{或}
C．{} D．{或}
2．若，则cos2α=（ ）
A． B． C． D．
3．若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．已知函数，且，则=（ ）
A． B． C． D．
5．设是平面α内的两条不同直线，是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线与圆有公共点，则（ ）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
8．在等比数列{}中，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知满足约束条件，且的最小值为2，则常数=（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．3
10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，且，，点在棱上运行，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是（ ）
A
11．已知圆,，考虑下列命题：①圆C上的点到（4，0）的距离的最小值为；②圆C上存在点P到点的距离与到直线的距离相等；
③已知点，在圆C上存在一点，使得以为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．定义在[0，+∞）上的函数满足：．其中表示的导函数，若对任意正数都有，则实数的取值范围是（ ）
A．（0，4] B．[2，4]
C．（﹣∞，0）∪[4，+∞） D．[4，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）.
13．垂直于直线并且与曲线相切的直线方程是 。
14.已知为数列{}的前项和，且．则{}的通项公式为 。
15. 菱形ABCD的边长为2，且∠BAD=60°，将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为 ．
16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为 .
三．解答题（共6大题，17题10分，其余每题12分，共70分）
17．设的内角所对的边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
18.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2Sn+1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*．
（1）求an；
（2）若数列{bn}满足bn=，{bn}的前n项和为Tn，且对任意的正整数n都有Tn＜m，求m的最小值．
19.已知函数的最小正周期为．
（）求的值及函数的单调递增区间．
（）求在区间上的最大值和最小值．
20. 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，，BC=1， AS=2，∠ACD=60°，E为CD的中点．
（1）求证：BC∥平面SAE；
（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．
21. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
22. 已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），证明：．
蒙阴县实验中学高三上学期第二次质量检测答案
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1--5 B C C A B 6--10 D B C B A 11--12 C C
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13 . 3x+y+6=0 14. 15. 1 16.
17. 【解析】（1）△ABC中，3acosC=3b﹣2c，
由正弦定理得：3sinAcosC=3sinB﹣2sinC，
∴3sinAcosC=3sin（A+C）﹣2sinC，
∴3cosAsinC=2sinC，∵sinC≠0，
∴，∵A∈（0，π），∴----------------------5分
（2）由（1）知，可得：，
由余弦定理得：，，
∴，
∴bc≤9（当且仅当b=c时取“=”号）
可得：，
即△ABC面积的最大值为．------------------10分。
18. 【解析】：（1）数列{an}满足a1=1，an+1=2Sn+1，
n≥2时，an=2Sn﹣1+1，相减可得：an+1﹣an=2an，即an+1=3an，
∴数列{an}是等比数列，公比为3，首项为1．
an=3n﹣1．
（2）数列{bn}满足bn====，
∴{bn}的前n项和为Tn=+…+
==﹣．
对任意的正整数n都有Tn＜m，∴﹣＜m．
∴m≥，∴m的最小值为．
19. 【解析】：（）∵
∴，∴．在中，
即为单调递增区间．
（）由（）得，
∵，
∴，
∴当时，即时， ，
当时，即时， ．
20. 【解析】证明：（1）因为，BC=1，∠ABC=90°，
所以AC=2，∠BCA=60°，
在△ACD中，，AC=2，∠ACD=60°，
由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD
解得：CD=4
所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是直角三角形，
又E为CD的中点，所以
又∠ACD=60°，所以△ACE为等边三角形，
所以∠CAE=60°=∠BCA，所以BC∥AE，
又AE⊂平面SAE，BC⊄平面SAE，
所以BC∥平面SAE．
解：（2）由（1）可知∠BAE=90°，以点A为原点，
以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则S（0，0，2），，，．
所以，，．
设为平面SBC的法向量，则，即
设x=1，则y=0，，即平面SBC的一个法向量为，
所以
所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为．
21. 【解析】：（1）由题意知，e==，a==2，又a2=b2+c2，
所以a=2，c=，b=1，
所以椭圆C的方程为+y2=1；
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±；
此时，原点O到直线AB的距离为；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
则△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（1+4k2﹣m2）＞0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2•+km（﹣）+m2=，
由OA⊥OB得kOAkOB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，
所以=0，即m2=（1+k2），
所以原点O到直线AB的距离为d==，
综上，原点O到直线AB的距离为定值．
22. 【解析】：（Ⅰ）f'（x）=2ax+1﹣lnx﹣1=2ax﹣lnx（x＞0），
依题意知：f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即．
令，则，
知g（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，
，于是，即．
（Ⅱ）证明：依题意知x1，x2（x1＜x2）是方程2ax﹣lnx=0（x＞0）的两个根，
即2ax1﹣lnx1=0，2ax2﹣lnx2=0，（0＜x1＜x2），
可得2a（x1+x2）=lnx1+lnx2，2a（x1﹣x2）=lnx1﹣lnx2．
所以．
欲证，只要证
，
令h（t）=（t+1）lnt+﹣2（t﹣1）（0＜t＜1），只要h（t）＜0即可．
则，
再令，则．
可知：φ（t）=h'（t）在（0，1）上递减，
可知h'（t）＞h'（1）=0，即h（t）在（0，1）上递增，
有h（t）＜h（1）=0，
综上可知：．
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