人教版八年级上《第13章轴对称》单元测试题（含答案解析）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年秋人教版八年级上册数学《第13章 轴对称》单元测试题 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．下列图形中为轴对称图形的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（　　）‎ A．25° B．45° C．30° D．20°‎ ‎3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．14 B．‎16 ‎C．18 D．20‎ ‎4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（　　）‎ A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（﹣5，﹣1）‎ ‎5．已知等腰三角形两边长分别为‎6cm、‎2cm，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．‎14cm B．‎10cm C．‎14cm或‎10cm D．‎‎12cm ‎6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 ‎7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（　　）‎ A．15° B．25° C．15°或75° D．25°或85°‎ ‎8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（　　）‎ A．有两个角等于60°的三角形 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B．有一个外角等于120°的等腰三角形 ‎ C．三个角都相等的三角形 ‎ D．边上的高也是这边的中线的三角形 ‎10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）‎ A．6 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝　 　‎ ‎12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为　 　．‎ ‎13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是　 　．‎ ‎14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝　 　°．‎ ‎15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为　 　．‎ ‎16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于　 　°．‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝　 　．‎ ‎18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．‎ ‎21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B‎1C1；‎ ‎（2）写出点C1的坐标；‎ ‎（3）求△ABC的面积．‎ ‎22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．‎ ‎23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．‎ ‎24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．‎ ‎25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．‎ ‎①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？‎ ‎②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年秋人教版八年级上册数学《第13章 轴对称》单元测试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．下列图形中为轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ C、是轴对称图形，故本选项正确；‎ D、不是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（　　）‎ A．25° B．45° C．30° D．20°‎ ‎【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 中利用三角形内角和求解．‎ ‎【解答】解：∠C＝∠C'＝30°，‎ 则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．‎ ‎3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）‎ A．14 B．‎16 ‎C．18 D．20‎ ‎【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∵AC＝6，BC＝10，‎ ‎∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（　　）‎ A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（﹣5，﹣1）‎ ‎【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．‎ ‎【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，‎ ‎∴点P1的坐标是（5，1），‎ ‎∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．‎ 故选：B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．‎ ‎5．已知等腰三角形两边长分别为‎6cm、‎2cm，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．‎14cm B．‎10cm C．‎14cm或‎10cm D．‎‎12cm ‎【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为‎6cm和‎2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．‎ ‎【解答】解：①‎6cm为腰，‎2cm为底，此时周长为‎14cm；‎ ‎②‎6cm为底，‎2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．‎ ‎∴其周长是‎14cm．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．‎ ‎6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 ‎【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．‎ ‎7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（　　）‎ A．15° B．25° C．15°或75° D．25°或85°‎ ‎【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．‎ ‎【解答】解：如图1，∵DE 垂直平分AB，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABE，‎ ‎∵∠AEB＝80°，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABE＝50°，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝＝65°，‎ ‎∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°‎ 如图2，∵DE 垂直平分AB，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∴∠BAE＝∠ABE，‎ ‎∵∠AEB＝80°，‎ ‎∴∠BAE＝∠EBA＝50°，‎ ‎∴∠BAC＝130°‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝＝25°‎ ‎∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°‎ 故选：C．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．‎ ‎8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，‎ ‎∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，‎ ‎∵点E在AD上，‎ ‎∴BE＝CE，‎ ‎∴∠EBC＝∠ECB，‎ ‎∵∠EBC＝45°，‎ ‎∴∠ECB＝45°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（　　）‎ A．有两个角等于60°的三角形 ‎ B．有一个外角等于120°的等腰三角形 ‎ C．三个角都相等的三角形 ‎ D．边上的高也是这边的中线的三角形 ‎【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．‎ ‎【解答】解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；‎ B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；‎ C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；‎ D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．‎ ‎（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．‎ ‎10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）‎ A．6 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，‎ 故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：连接AD，MA．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，‎ ‎∵EF是线段AC的垂直平分线，‎ ‎∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，‎ ‎∴MC+DM＝MA+DM≥AD，‎ ‎∴AD的长为CM+MD的最小值，‎ ‎∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝　5　‎ ‎【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．‎ ‎【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，‎ ‎∴AD＝CD，‎ ‎∵BC＝9，AD＝4，‎ ‎∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．‎ ‎12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ACD的周长为　14　．‎ ‎【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴DA＝DB，‎ ‎∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14，‎ 故答案为：14．‎ ‎【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．‎ ‎13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是　（1，2）　．‎ ‎【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点P坐标．‎ ‎【解答】解：∵P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），‎ ‎∴点P坐标是（1，2）．‎ 故答案是：（1，2）．‎ ‎【点评】此题主要．考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．‎ ‎14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝　35　°．‎ ‎【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．‎ ‎【解答】解：∵等腰三角形中，∠A＝110°＞90°，‎ ‎∴∠B＝＝35°，‎ 故答案为：35．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．‎ ‎15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为　40°　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．‎ ‎【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意，‎ 得x+2（x+30）＝180，‎ 解得 x＝40．‎ 故答案为：40°．‎ ‎【点评】此题考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．‎ ‎16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于　45　°．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵AB＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠BCA＝15°，‎ ‎∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，‎ ‎∵CB＝CD，‎ ‎∴∠CBD＝∠CDB＝30°，‎ ‎∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，‎ 故答案为45．‎ ‎【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝　45°　．‎ ‎【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF；根据三角形外角的性质即可得出结论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∵BE⊥AC，‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABE＝45°，‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，‎ ‎∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，‎ ‎∵AB＝AC，AF⊥BC，‎ ‎∴BF＝CF，‎ ‎∴BF＝EF；‎ ‎∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，‎ ‎∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．‎ 故答案为：45°．‎ ‎【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．‎ ‎18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　9.6　．‎ ‎【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴AD垂直平分BC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BP＝CP．‎ 过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．‎ ‎∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，‎ ‎∴BQ＝＝＝9.6．‎ 故答案为：9.6．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．‎ ‎【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：PA＝PC．‎ 理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，‎ ‎∴PA＝PB，PC＝PB，‎ ‎∴PA＝PC．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．‎ ‎【分析】利用线段垂直平分线的性质计算．‎ ‎【解答】解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B 又因为∠CAE＝∠B+30°‎ 故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20°‎ ‎∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°．‎ ‎【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换．‎ ‎21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．‎ ‎（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B‎1C1；‎ ‎（2）写出点C1的坐标；‎ ‎（3）求△ABC的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；‎ ‎（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B‎1C1为所作；‎ ‎（2）点C1的坐标为（4，3）；‎ ‎（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．‎ ‎22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．‎ ‎【分析】分两种情况：①设 AB＝AC＝5，②设 BC＝5，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴不妨设AB＝AC，‎ 又∵一边长为5，‎ ‎①设 AB＝AC＝5，‎ ‎∵△ABC 的周长为 22，‎ ‎∴BC＝22﹣5﹣5＝12；‎ ‎∵5+5＜12，‎ ‎∴不成立（舍）；‎ ‎②设 BC＝5，‎ ‎∵△ABC 的周长为 22，‎ ‎∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5，‎ ‎∵8.5+5＞8.5，符合题意，‎ ‎∴△ABC 另两边长分别为 8.5，8.5．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．‎ ‎23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．‎ ‎【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵BF平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABF＝∠CBF，‎ ‎∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，‎ ‎∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，‎ ‎∴∠AFB＝∠BED，‎ ‎∵∠AEF＝∠BED，‎ ‎∴∠AFE＝∠AEF，‎ ‎∴AE＝AF．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．‎ ‎24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．‎ ‎【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，所以DB＝DO，同理可得EO＝CE，利用等线段代换得到△ADE的周长＝AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC＝9，从而得到△ADE的周长．‎ ‎【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，‎ ‎∴∠1＝∠3，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠2＝∠3，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∴DB＝DO，‎ 同理可得EO＝CE，‎ ‎∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，‎ ‎∵△ABC的周长为15，‎ ‎∴AB+AC+BC＝15，‎ 而BC的长为6，‎ ‎∴AB+AC＝9，‎ ‎∴△ADE的周长为9．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．‎ ‎25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．‎ ‎①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？‎ ‎②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？‎ ‎③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．‎ ‎【分析】①如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；‎ ‎②连接PA，根据三角形的面积公式即可得到结论；‎ ‎（3）如图2，连接PA，根据三角形的面积列方程即可得到结论；如图3，过点C作CG⊥PE于G，根据矩形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）CD＝PE+PF，‎ 理由：如图1，连接PA，‎ ‎∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F ‎∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，‎ 又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC ‎∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF，‎ ‎∵AB＝AC ‎∴CD＝PE+PF；‎ ‎（2）①中关系还成立，‎ 理由：连接PA，‎ ‎∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F ‎∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC ‎∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF，‎ ‎∵AB＝AC ‎∴CD＝PE+PF；‎ ‎（3）结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD，‎ 如图2，连接PA，‎ ‎∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F ‎∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，‎ 又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB ‎∴AB×CD＝AC×PF+AB×PE，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴CD＝PF﹣PE；‎ 如图3，过点C作CG⊥PE于G，‎ ‎∵PE⊥AB，CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°．‎ ‎∴四边形CGED为矩形．‎ ‎∴CD＝GE，GC∥AB．‎ ‎∴∠GCP＝∠B．‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠ACB．‎ ‎∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP．‎ 在△PFC和△PGC中，，‎ ‎∴△PFC≌△PGC（AAS），‎ ‎∴PF＝PG．‎ ‎∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费