密 封 线
学校 班级 姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
太原五中2018—2019学年度第一学期阶段性检测
高 三 数 学（理）
出题人、校对人：刘洪柱 凌 河（2018.12）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则实数的范围为
A. B. C. D.
2. 设复数满足 (其中为虚数单位),则下列说法正确的是（ ）
A． B．复数的虚部是
C． D．复数在复平面内所对应的点在第一象限
3.设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．9 B．15 C．18 D．36
4．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（ ）
A. 140种 B. 70种 C. 35种 D. 84种
5．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．2＋ B．2＋
C．4＋ D．4＋
6．已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，
则该函数有两个极值点的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（ ）$源
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5WWWcom
8.设函数与的图象在轴右侧的第
一个交点为，过点作轴的平行线交函数
的图象于点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
11．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在
正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
12．已知函数，关于的不等式有且只有三个整数解，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.已知向量，的夹角为，，，m则 .
14.已知命题：，命题：幂函数在是
减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围是________．
15.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）
的外接球，，点在线段 上，且，过点作
球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．
16.设函数，则满足的的取值范围是_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
18、（本小题满分12分）
已知数列满足，记.
（1）证明:；
（2）若，求数列的前项的和.
19、（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
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20、（本小题满分12分）
已知椭圆的左焦点为,
椭圆与直线交于两点，线段中点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的
和为，证明：过定点.
21、（本小题满分12分）
已知函数有两个极值点，
（1）求实数的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，
直线的参数方程为．
（1）若时，求与的交点坐标；
（2）若时，求曲线上的点到距离的最大值．
23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】
已知函数.
（1）求的解集；
（2）证明：当，时，．
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太原五中2018-2019学年度第一学期阶段性检测答案
高三数学（理）
2018.12
一、选择题(每小题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
B
A
D
C
C
D
A
A
A
二、 填空题(每小题5分，共20分)
13.14. 15. 16.
三、解答题(本大题6小题，共70分)
17.(本小题满分12分）
解：（1）
∴ ∴
∴∴∴
又∵∴.
（2）由余弦定理得：，∴
∴，∴∴( 当且仅当时取等号）
∴ ∴时，周长最大为.
18.(本小题满分12分）
解：（1）当为奇数时，
当为偶数时，
（2）
.
19.(本小题满分12分）
解:（1）在中，得：，同理：，
得：面.
（2）面取的中点，
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过点作于点，连接，
，面面面，
得：点与点重合且是二面角的平面角.
设，则，，
所以二面角的大小为.
（另解：利用空间向量求二面角）.
20．(本小题满分12分）
解：（1）设，，则
由得：，∴，且
∴， ∴∴椭圆的方程为：.
（2）当斜率存在时，设：，，，则
由即得：
∴
联立得：，由得：
∴，
∴
∵∴∴（当且仅当时，）
∴：，所以恒过点.
当斜率不存在时，设：，，，则
，∴
此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
综上直线恒过点.
21．(本小题满分10分）
解：（1）的定义域为，.
函数在有两个极值点等价于函数在上有两个零点，
∴， ∴.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
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由于的两个极值点满足，所以，当时，则.
由于，
所以等价于.
设函数，，则
恒成立，
∴在单调递减，又，从而当时，.
∴，即.
从而成立，即.
22．(本小题满分10分）
解：（1）当时，直线的方程为．
曲线的标准方程是：，
联立方程，解得：或，
则与交点坐标是和．
（2）当时，直线一般式方程为：．
设曲线上点，则
则到距离，其中，
当时，．
23．(本小题满分10分）
解：（1）
当时，由得解得；
当时，；
当时，由得解得.
所以的解集.
（2）由（1）知，当时，，
从而，可得，
所以.
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