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1 南山中学 2020 届 12 月月考试题 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 C D C B B C A B A D C A 二、填空题 13.1-π 8 14.21 15.106 16. xy 1 三、解答题 17.解：(1)分数在 110～120 内的学生的频率为 P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数 N＝ 14 0.35 ＝40.………………2 分 分数在 120～125 内的学生的频率为 P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，…………2 分 分数在 120～125 内的人数 n＝40×0.10＝4.…………………5 分 (2)由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标， 即为105＋110 2 ＝107.5.…………………………7 分 设中位数为 a，∵0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50， ∴a＝110.…………………………………9 分 ∴众数和中位数分别是 107.5，110.………………10 分 18.解： (1)t－＝3，z－＝2.2，∑ 5 i＝1 tizi＝45，∑ 5 i＝1 t2 i＝55， b^ ＝45－5×3×2.2 55－5×9 ＝1.2，………………………………4 分 a^ ＝z－－b^ t－＝2.2－3×1.2＝－1.4，……………………5 分 所以z^ ＝1.2t－1.4.……………………………………6 分 (2)将 t＝x－2 012，z＝y－5，代入z^ ＝1.2t－1.4， 得 y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即y^ ＝1.2x－2 410.8.………9 分 (3)因为y^ ＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6， 所以预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元.………12 分2 19.解：(1)由题意知，所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)， (1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)， (2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)， (3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)， 共 27 种．………………………………………………………4 分 (2)①设“抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种． 所以 P(A)＝ 3 27 ＝1 9 . 因此，“抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”的概率为1 9 .…………8 分 ②设“抽取的小球表示的数字 a，b，c 完全相同”为事件 B，则事件 B 包括(1，1，1)，(2，2，2)， (3，3，3)，共 3 种． 所以 P＝1－P(B)＝1－ 3 27 ＝8 9 . 因此，“抽取的小球表示的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为8 9 .………12 分 20.解 (1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)， 则 2 12  aa ＝|a－2a－1| 2 . 解得 0a 或 a＝1.………………………………………………3 分 所以，半径 r＝ 2 2 或 2r …………………………………4 分 故圆 C 的方程为： 2 122  yx 或(x－1)2＋(y＋2)2＝2.………5 分 (2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条 件.…………………………………………7 分 ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx， 由题意得|k＋2| 1＋k2 ＝1，解得 k＝－3 4 ， 则直线 l 的方程为 y＝－3 4 x.…………………………………11 分 综上所述，直线 l 的方程为 x＝0 或 3x＋4y＝0.……………12 分3 21.解：(1)由题可知 F p 2 ，0 ， 则该直线方程为 y＝x－p 2 ， 代入 y2＝2px(p＞0)，得 x2－3px＋p2 4 ＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则有 x1＋x2＝3p. 因为|MN|＝8， 所以 x1＋x2＋p＝8，即 3p＋p＝8，解得 p＝2， 所以抛物线的方程为 y2＝4x.………………………………5 分 (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋b，代入 y2＝4x，得 x2＋(2b－4)x＋b2＝0. 因为 l 为抛物线 C 的切线， 所以Δ＝0，解得 b＝1. 所以 l 的方程为 y＝x＋1.………………………………………7 分 设 P(m，m＋1)，则PM→＝(x1－m，y1－(m＋1))，PN→＝(x2－m，y2－(m＋1))， 所以PM→·PN→＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)] ＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.……………9 分 由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1， 所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. 因为 y2 1－y2 2＝4(x1－x2)， 所以 y1＋y2＝4x1－x2 y1－y2 ＝4， 所以PM→·PN→＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2 ＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，…………………………………11 分 当且仅当 m＝2，即点 P 的坐标为(2，3)时，PM→·PN→的最小值为－14.…………12 分 22．解：（1）由题意，b＝ 3，又因为c a ＝1 2 ，所以b a ＝ 3 2 ，解得 a＝2， 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. ………………………………………………3 分 （2）因为点 N 为△F1AF2 的内心， 所以点 N 为△F1AF2 的内切圆的圆心，设该圆的半径为 r.4 则S△F 1 NF 2 S△F 1 AF 2 ＝ 1 2×F1F2×r 1 2×(AF1＋AF2＋F1F2)×r ＝ F1F2 AF1＋AF2＋F1F2 ＝ c a＋c ＝1 3. …………6 分 （3）若直线 l 的斜率不存在时，四边形 ABED 是矩形， 此时 AE 与 BD 交于 F2G 的中点(5 2 ，0)， ……………………………………7 分 下面证明：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T(5 2 ，0). 设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， y＝k(x－1)， x2 4 ＋y2 3 ＝1 化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 因为直线 l 经过椭圆 C 内的点(1，0)，所以△＞0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ 8k2 3＋4k2 ，x1x2＝4k2－12 3＋4k2 . …………………………………………9 分 由题意，D(4，y1)，E(4，y2)， 直线 AE 的方程为 y－y2＝y2－y1 4－x1 (x－4)， 令 x＝5 2 ，此时 y＝y2＋y2－y1 4－x1 ×(5 2 －4)＝2(x1－4)y2＋3(y2－y1) 2(x1－4) ＝2(x1－4)k(x2－1)＋3k(x2－x1) 2(x1－4) ＝8k＋2kx1x2－5k(x2＋x1) 2(x1－4) ＝ 8k＋2k·4k2－12 3＋4k2 －5k· 8k2 3＋4k2 2(x1－4) ＝8k·(3＋4k2)＋2k·(4k2－12)－5k·8k2 2(x1－4)(3＋4k2) ＝24k＋32k3＋8k3－24k－40k3 2(x1－4)(3＋4k2) ＝ 40k3－40k3 2(x1－4)(3＋4k2) ＝0， 所以点 T(5 2 ，0)在直线 AE 上，………………………………………11 分 同理可证，点 T(5 2 ，0)在直线 BD 上. 所以当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T(5 2 ，0).………12 分