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龙海二中2018—2019学年上学期第二次月考
高三数学（理）试题
(满分150分, 考试时间120分钟)
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）
1. 若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设，则 ( )
A． B． C． D．
3.下列命题中真命题是（ ）
A.若, 则;
B.若, 则;
C.若是异面直线, 那么与相交;
D.若, 则且
4．如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）
. .
. .
5.若实数，满足，则目标函数的最大值为（ ）
6．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
7．设命题甲：关于的不等式有解，命题乙：设函数 在区间上恒为正值，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．2 D．
第7题图
9．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知函数（）的导函数为，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11.已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面垂直于平面，在中，，，，则球的外接球的表面积等于( )
12．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．计算 .
14. 正实数满足，则的最小值为 ．
15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有（）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大． 甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_ __.
16. 等差数列的前项和为，已知，且，，则=__________．
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12 分）
在锐角△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是a,b,c，若
(1) 求角A 的大小；
(2) 若a＝3，△ABC 的面积 S=， 求b + c的值.
18. （本小题满分12 分）
设为各项不相等的等差数列的前n项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列{}的前n项和，求.
19．（本题满分12分）
四棱锥P-ABCD中，直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，∠APD=60°，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面PDA⊥平面ABCD，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PD与平面BDE所成角的大小．
20．（本题满分12分）
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．
（Ⅰ）求证：C1D⊥D1E；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E ? 若存在，求的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若二面角B1-AE-D1的大小为90°，求AD的长．
21．（本题满分12分）
已知函数（为常数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）是否存在正实数，使得对任意，都有，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由
请考生在第（22），（23）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程是：
（1）求曲线的直角坐标方程，直线的普通方程；
（2）将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线曲线，求曲线上的点到直线距离的最小值．
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知实数，且，若恒成立.
(Ⅰ)求实数m的最小值；
(II)若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.
龙海二中2018-2019学年上学期第二次月考
高三数学理科试题参考答案
一、选择题
1—5:BCADA 6—10：CBDAC 11—12：BD
二、13. 14 . 3 15. 16.4030
解析:
12. B 令，
∴函数为奇函数，
∵时，，函数在为减函数，
又由题可知，，所以函数在上为减函数，
所以 则，.即
17.（本小题满分12分）
解：（1）因为，由正弦定理得……………………2分
所以，，……………………………………………………3分
由锐角，得，所以………………………………5分
（2）因为的面积………………………………6分
由，可得，……………………………………8分
因为由余弦定理，得………………10分
所以，所以…………………………………12分
18. （本题满分12分）
解：（1）设数列的公差为d，则由题意知
解得（舍去）或
所以.……………………………………………………(6分)
（2） 因为=，
所以=++…+=.（12分）
19. （本题满分12分）
解：（1）
，
，
，又平面，
平面平面，
平面平面，
平面 6分
（2），以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
，设平面的一个法向量为，则，令，
，设直线与平面所成的角为，，
直线与平面所成的角为 12分
20．（本题满分12分）
方法一：
证明：（1）连D1C，长方体中，EC⊥平面DCC1D1，∴EC⊥DC1
∵AB=AA1，∴正方形DCC1D1中，D1C⊥DC1
又EC∩D1C=C，∴DC1⊥平面ECD1
∵D1E面ECD1，∴C1D⊥D1E 4分
解：（2）存在点M为AA1中点，使得BM∥平面AD1E．
证明：取A1D1中点N，连BM，MN，NB
∵E为BC中点，∴ND1 BE
∴四边形BED1N是平行四边形，∴BN∥D1E
又BN平面AD1E，D1E平面AD1E
∴BN∥平面AD1E
∵MN AD1，MN平面AD1E，AD1平面AD1E
∴MN∥平面AD1E
∵BN∩MN=N，∴平面BMN∥平面AD1E
∵BM平面BMN，∴BM∥平面AD1E
此时， 8分
方法二：
证明：（1）以D为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，
则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,1,0)，B1(a,1,1)，C 1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E(,1,0)，
∴，∴，∴C1D⊥D1E4‘
解：（2）设，则，∴，，
设平面AD1E的法向量 ，则，
∴平面AD1E的一个法向量
∵BM∥平面AD1E，∴ ，即，∴
即在存在AA1上点M，使得BM∥平面AD1E，此时．……………… 8分
解：（3）设平面B1AE的法向量 ，
则，∴平面B1AE的一个法向量
∵二面角B1-AE-D1的大小为90°，∴ ⊥ ，∴
∵a>0，∴a=2，即AD=2． …………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵（为常数）定义域为：．
（ⅰ）若，则恒成立在上单调递增；…………2分
（ⅱ）若，则．
令，解得；令，解得．
在上单调递减，在上单调递增．…………5分
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．……6分
（Ⅱ）满足条件的不存在．理由如下：
若，由（Ⅰ）可知，函数在为增函数；
不妨设，则，即；
…………………………………………………………………9分
∴由题意：在上单调递减，
∴在上恒成立；即对恒成立；
又在上单调递减；∴；故满足条件的正实数不存在．
………………………………………………12分
请考生在第（22），（23），二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
解 (Ⅰ)曲线的方程为，
直线的方程是： ……………………………..…4分
（Ⅱ）将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，
得到曲线曲线的方程为，
设曲线上的任意点 …………………7分
到直线距离．
到直线距离的最小值为． …………………10分
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）∵当且仅当时，∴，
的最小值为3. ……………… 5分
（Ⅱ）令，当；
当（舍去）；当.
综上：或. ……………………………… 10分
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