书书书
【２０１９届高三·数学（文）试题·第 １ 页（共 ４页）】
大 联 考 试 卷
数学（文）
（试卷总分 １５０分 考试时间 １２０分钟）
题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总分 合分人 复分人
得分
第Ⅰ卷（选择题 共 ６０分）
得分 评卷人 一、选择题：本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０
分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的．
１．已知集合 Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜－１≤ｘ＜２｝，则满足条件 Ａ∩Ｂ＝Ｂ的集合 Ｂ
的个数为 （ ）
Ａ．４ Ｂ．７ Ｃ．３ Ｄ．８
２．已知复数 ｚ＝１－ｉ，则 ｚ２＋｜ｚ｜２在复平面上对应的点在 （ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
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３．国庆节期间，滕州市实验小学举行
了一次科普知识竞赛活动，设置了
一等奖、二等奖、三等奖、四等奖及
纪念奖，获奖人数的分配情况如图
所示，各个奖品的单价分别为：一
等奖 ５０元、二等奖 ２０元、三等奖
１０元，四等奖 ５元，纪念奖 ２元，
则以下说法中不正确
獉獉獉
的是 （ ）
Ａ．获纪念奖的人数最多
Ｂ．各个奖项中二等奖的总费用最高
Ｃ．购买奖品的费用平均数为 ６．６５元
Ｄ．购买奖品的费用中位数为 ５元
４．给出下列四个结论：①若 ｐ∧ｑ是真命题，则瓙ｐ可能是真命题；
②命题“若 ｐ则 ｑ”与命题“若瓙ｑ，则瓙ｐ”互为逆否命题；③若“瓙ｐ
或 ｑ”是假命题，则“ｐ且瓙ｑ”是真命题；④若 ｐ是 ｑ的充分条件，
ｑ是 ｒ的充分条件，则 ｐ是 ｒ的充分条件．其中正确的个数为 （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
５．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｅｘ－１，ｘ＞０
－１，ｘ≤{ ０，函数 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ的一个零点为 ｍ，
令 ｈ（ｘ）＝ｘｍ２－３，则函数 ｈ（ｘ）是 （ ）
Ａ．奇函数且在（０，＋∞）上单调递增
Ｂ．偶函数且在（０，＋∞）上单调递减
Ｃ．奇函数且在（０，＋∞）上单调递减
Ｄ．偶函数且在（０，＋∞）上单调递增
６．已知双曲线ｘ２
ａ２ －ｙ２
ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右顶点为 Ａ，Ｂ，点 Ｐ为双
曲线上异于 Ａ，Ｂ的任意一点，设直线 ＰＡ，ＰＢ的斜率分别为 ｋ１，ｋ２，
若 ｋ１ｋ２＝１
２，则双曲线的离心率为 （ ）
Ａ．槡３
２ Ｂ．２ Ｃ．槡６
２ Ｄ．３
２
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７．如图，是某几何体的三视图，该几何体的轴截
面的面积为 ８，则该几何体的外接球的表面积
为 （ ）
Ａ．１２５
１２π Ｂ．２５π
Ｃ．２５π
２ Ｄ．１００π
８．若函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２（２π－ωｘ） 槡＋ ３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ
＋３
２，且 ｆ（α）＝３，ｆ（β）＝２，若 ｜α－β｜的最小值是 π
２，则下列结论
正确的是 （ ）
Ａ．ω＝１，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 １
Ｂ．ω＝１
２，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 ３
Ｃ．ω＝２，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 ３
Ｄ．ω＝１
２，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 １
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&９．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分
别是 ＢＣ，ＣＤ上的一点，且 →ＢＥ＝１
２
→ＢＣ，
→ＤＦ＝２→ＦＣ，则 →ＡＦ＋→ＤＥ＝ （ ）
Ａ．５
３
→ＡＢ－１
３
→ＡＤ
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输出 "结束
是
是
否
否
Ｂ．５
３
→ＡＢ＋５
３
→ＡＤ
Ｃ．４
３
→ＡＢ－２
３
→ＡＤ
Ｄ．５
３
→ＡＢ＋１
３
→ＡＤ
１０．执行如图所示的程序框图，输出的
结果为 （ ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４【２０１９届高三·数学（文）试题·第 ２ 页（共 ４页）】
１１．设 Ｇ是△ＡＢＣ的重心，且（ｓｉｎＡ）→ＧＡ＋（ｓｉｎＢ）→ＧＢ＋（ｓｉｎＣ）→ＧＣ＝０，
若△ＡＢＣ外接圆的半径为 １，则△ＡＢＣ的面积为 （ ）
Ａ． 槡３ ３
２ Ｂ． 槡３ ３
４ Ｃ．３
４ Ｄ．９
１６
１２．各项均为正数的等比数列｛ａｎ｝满足：ａ６ ＝ａ３ａ４，ａ１ａ８ ＝１２８，函数
ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ＋ａ２ｘ２ ＋… ＋ａ２０ ｘ２０，若 曲 线 ｙ＝ｆ（ｘ）在 点
（１
２，ｆ（１
２））处的切线垂直于直线 ｋｘ－１０５ｙ＋ｍ＝０，则 ｋ＝ （ ）
Ａ．－１
２ Ｂ．１
２ Ｃ．２ Ｄ．－２
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案
第Ⅱ卷（非选择题 共 ９０分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 １３～２１题为必考题，每个
试题考生都必须作答，第 ２２～２３题为选考题，考生根据要求作答．
得分 评卷人 二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０
分．把答案填在题中横线上．
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１３．已知 ｘ，ｙ满足不等式组
ｙ≤２ｘ
ｘ＋ｙ≤３
ｙ≥{ ０
，则 ｚ＝ｙ－１
ｘ＋１
的取值范围是 ．
１４．如图，在长方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，对角线
ＤＢ１与平面 ＡＤＤ１Ａ１，ＡＢＣＤ，ＤＣＣ１Ｄ１ 的夹角分
别为 α，β，θ，且 Ａ１Ｂ１＋ＢＢ１ ＋Ｃ１Ｂ１ ＝８，Ａ１Ｂ２
１ ＋ＢＢ２
１ ＋Ｃ１Ｂ２
１ ＝２４，则
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎθ＝ ．
１５．已知函数 ｆ（ｘ）＝
ｃｏｓｘ－ｘ，ｘ≤０
１－ｘ
ｘ＋１，ｘ{ ＞０ ，ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ３（ｘ２ －３），则不等式
ｆ［（ｇ（ｘ））］＜１的解集为 ．
１６．已知圆 Ｃ１：（ｘ－２）２ ＋（ｙ－２）２ ＝４，Ｃ２：（ｘ＋２）２ ＋（ｙ＋１）２ ＝２，
点 Ｐ是圆 Ｃ１上的一个动点，ＡＢ是圆 Ｃ２ 的一条动弦，且 ｜ＡＢ｜＝２，
则｜→ＰＡ＋→ＰＢ｜的最大值是 ．
得分 评卷人 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
１７．（１２分）已知数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ，且 Ｓｎ＝２ｎ２＋３ｎ（ｎ∈Ｎ ），
数列｛ｂｎ｝满足：ａｎｂｎ＝４ｎ２＋ｎ（ｎ∈Ｎ）．
（１）求数列｛ｂｎ｝的通项公式；
（２）设数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和为 Ｔｎ，当 Ｔｎ＞４５时，求 ｎ的最小值．
１８．（１２分）如图，四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝２π，ＡＤ＝４，Ｅ，Ｆ分别为
ＤＣ，ＡＢ上的一点，且 ＤＥ＝２
３ＤＣ，ＡＦ＝２
３ＡＢ，将矩形 ＡＢＣＤ卷成
以 ＡＤ，ＢＣ为母线的圆柱的半个侧面，且 ＡＢ，ＣＤ分别为圆柱的
上、下底面的直径．
（１）求证：平面 ＡＤＥＦ⊥平面 ＢＣＥＦ；
（２）求四棱锥 Ｄ－ＢＣＥＦ的体积．
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%【２０１９届高三·数学（文）试题·第 ３ 页（共 ４页）】
１９．（１２分）滕州市公交公司一切为了市民着想，为方便市区学生的
上下学，专门开通了学生公交专线，在学生上学、放学的时间段运
行，为了更好地掌握发车间隔时间，公司工作人员对滕州二中车
站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究，现得到
如下数据：
间隔时间 ｘ（分钟） １０ １１ １３ １２ １５ １４
侯车人数 ｙ（人） ２３ ２５ ２９ ２６ ３１ ２８
调查小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 ２组，用剩下
的 ４组数据求线性回归方程，再用被选取的 ２组数据进行检验．
（１）求选取的 ２组数据不相邻的概率；
（２）若选取的是前两组数据，请根据后四组数据，求出 ｙ关于 ｘ的
线性回归方程 )
ｙ＝ )
ｂｘ＋ )
ａ；
（３）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误
差均不超过 １人，则称为最佳回归方程，在（２）中求出的回归
方程是否是最佳回归方程？若规定一辆公交车的载客人数不
超过 ３５人，则间隔时间设置为 １８分钟，是否合适？
参考公式：)
ｂ＝
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘｉｙｉ－ｎｘｙ
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘ２
ｉ－ｎｘ２
＝
∑
ｎ
ｉ＝１
（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）
∑
ｎ
ｉ＝１
（ｘｉ－ｘ）２
，)
ａ＝ｙ－ )
ｂｘ．
２０．（１２分）已知椭圆 Ｃ：ｘ２
ａ２ ＋ｙ２
ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点为 Ｆ１，Ｆ２，
上、下顶点为 Ｂ１，Ｂ２，四边形 Ｂ１Ｆ２Ｂ２Ｆ１是面积为 ２的正方形．
（１）求椭圆的标准方程；
（２）已知点 Ｐ（２，０），过点 Ｆ２ 的直线 ｌ与椭圆交于 Ｍ，Ｎ两点，求
证：∠ＭＰＦ２＝∠ＮＰＦ２．【２０１９届高三·数学（文）试题·第 ４ 页（共 ４页）】
２１．（１２分）已知函数 ｆ（ｘ）＝１
２ａｘ２＋２ｘ（ａ≠０），ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ．
（１）令 ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），若曲线 ｙ＝ｈ（ｘ）在点（１，ｈ（１））处的切
线的纵截距为 －２，求 ａ的值；
（２）设 ａ＞０，若方程 ｇ（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）－（２ａ＋１）ｘ在区间（１
ｅ，ｅ）内
有且只有两个不相等的实数根，求实数 ａ的取值范围．
请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分．
２２．（１０分）【选修 ４－４ 坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｘ＝－２＋ｔｃｏｓα
ｙ＝ｔｓｉｎ{ α
（ｔ为
参数），以坐标原点 Ｏ为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
Ｃ的极坐标方程为 ρ＝１．
（１）若直线 ｌ与圆 Ｃ相切，求 α的值；
（２）直线 ｌ与圆 Ｃ相交于不同两点 Ａ，Ｂ，线段 ＡＢ的中点为 Ｑ，求点
Ｑ的轨迹的参数方程．
２３．（１０分）【选修 ４－５ 不等式选讲】
已知不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ，ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ．
（１）当 ２ａ＋ｂ＝２，ｃ＝｜ｘ＋１｜时，解不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ；
（２）当 ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ ＝６时，不等式 ｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ对所有实数
ａ，ｂ，ｃ都成立，求实数 ｘ的取值范围．
你选做的题目是 题（填 ２２、２３）
答案：书书书
１ 数学（文） 金学导航·大联考
金学导航·大联考·数学（文）
参考答案
１．Ｄ（解析：Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜－１≤ｘ＜２｝＝｛－１，０，１｝，
∵Ａ∩Ｂ＝Ｂ，∴ＢＡ，∵集合 Ａ有 ３个元素，∴其子
集有 ８个，故选 Ｄ．）
２．Ｄ（解析：∵ｚ＝１－ｉ，∴ｚ２ ＋｜ｚ｜２ ＝（１－ｉ）２ ＋
（槡２）２＝２－２ｉ，则 ｚ２＋｜ｚ｜２ 在复平面上对应的点在
第四象限，故选 Ｄ．）
３．Ｂ（解析：设参加竞赛的人数为 ａ人，由扇形统计
图可知，一等奖占 ２％，二等奖占 ８％，三等奖占
１５％，四等奖占 ３５％，获得纪念奖的人数占 ４０％，
最多，Ａ正确；各奖项的费用：一等奖 ２％ａ×５０＝ａ，
二等奖 ８％ ａ×２０＝１．６ａ，三等奖 １５％ ａ×１０＝
１．５ａ，四等奖 ３５％ａ×５＝１．７５ａ，纪念奖 ４０％ａ×２
＝０．８ａ，Ｂ错误；平均费用为 ５０×２％ ＋２０×８％ ＋
１０×１５％ ＋５×３５％ ＋２×４０％ ＝６．６５元，Ｃ正确；
由各个获奖的人数的比例知，购买奖品的费用的中
位数为 ５元，Ｄ正确，故选 Ｂ．）
４．Ｃ（解析：若 ｐ∧ｑ是真命题，则 ｐ，ｑ都是真命题，
∴瓙ｐ是假命题，①错误；由逆否命题的定义可得，
②正确；若“瓙ｐ或 ｑ”是假命题，则瓙ｐ，ｑ都是假命
题，∴ｐ，瓙ｑ都是真命题，③正确；④显然正确，故
选 Ｃ．）
５．Ｂ（解析：函数 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ的零点，即为ｆ（ｘ）
＝ｘ的根，由
ｘ＞０
ｅｘ－１＝{ ｘ
或
ｘ≤０
－１＝{ ｘ
解得，ｘ＝１或 ｘ＝
－１，即 ｍ＝±１，则 ｈ（ｘ）＝ｘ－２，∴函数 ｈ（ｘ）是偶函
数且在（０，＋∞）上单调递减，故选 Ｂ．）
６．Ｃ（解析：由题设知，Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０），设 Ｐ（ｘ，ｙ），
则 ｋ１＝ ｙ
ｘ＋ａ，ｋ２ ＝ ｙ
ｘ－ａ，∴ｋ１ｋ２ ＝ ｙ
ｘ＋ａ× ｙ
ｘ－ａ＝ ｙ２
ｘ２－ａ２
＝１
２，∵Ｐ（ｘ，ｙ）点在双曲线上，∴ｙ２＝ｂ２
ａ２（ｘ２－ａ２），则
ｂ２
ａ２（ｘ２－ａ２）
ｘ２－ａ２ ＝１
２，化简得，２ｂ２ ＝ａ２，又 ｂ２ ＝ｃ２ －ａ２，
∴２ｃ２＝３ａ２，则 ｅ＝槡６
２，故选 Ｃ．）
７．Ｂ（解析：由三视图知，该几何体是一个圆锥，底
面半径为 ｒ＝２，设圆锥的高为 ｈ，则轴截面的面积
为 Ｓ＝１
２×４ｈ＝８，∴ｈ＝４，设圆锥的外接球的半径
为 Ｒ，则由题意得，｜ｈ－Ｒ｜２ ＋ｒ２ ＝Ｒ２，即 ｜４－Ｒ｜２ ＋
２２＝Ｒ２，解得，Ｒ＝５
２，∴外接球的表面积为 Ｓ＝
４πＲ２＝２５π，故选 Ｂ．）
８．Ｂ（解析：ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２（２π－ωｘ） 槡＋ ３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋
３
２＝ｓｉｎ２ωｘ＋槡３
２ｓｉｎ２ωｘ＋３
２＝槡３
２ｓｉｎ２ωｘ－１
２ｃｏｓ２ωｘ
＋２＝ｓｉｎ（２ωｘ－π
６）＋２，∵ｆ（α）＝３，ｆ（β）＝２，
且｜α－β｜的最小值是 π
２，∴周期为 ２π，则 ２π
２ω＝２π，
∴ω＝１
２，则 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ－π
６）＋２，∴ｆ（ｘ）的最大
值为 ３，故选 Ｂ．）
９．Ｄ（解析：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，且 →ＤＦ＝
２→ＦＣ，∴ →ＡＦ＝→ＡＤ＋→ＤＦ＝→ＡＤ＋２
３
→ＤＣ＝→ＡＤ＋２
３
→ＡＢ，又
→ＢＥ＝１
３
→ＢＣ，∴ →ＤＥ＝→ＤＣ＋→ＣＥ＝→ＡＢ＋２
３
→ＣＢ＝→ＡＢ－
２
３
→ＡＤ，则 →ＡＦ＋ →ＤＥ＝→ＡＢ－２
３
→ＡＤ＋ →ＡＤ＋２
３
→ＡＢ＝
５
３
→ＡＢ＋１
３
→ＡＤ，故选 Ｄ．）
１０．Ｄ（解析：由程序框图知，ｋ＝１，ｘ＝１ｌｏｇ２ｘ＝０，
否ｘ＝１＋１＝２，ｌｏｇ２ｘ＝１＞０，是ｘ＝２＋１＝３，
ｋ＝１＋ｌｏｇ３３＝２，是ｘ＝１ｌｏｇ２ｘ＝０，否ｘ＝１＋１
＝２，ｌｏｇ２ｘ＝１＞０，是ｘ＝２＋２＝４，ｋ＝２＋ｌｏｇ３４，
否，输出 ｘ＝４，故选 Ｄ．）
１１．Ｂ（解析：∵Ｇ是△ＡＢＣ的重心，∴ →ＧＡ＋→ＧＢ＋→ＧＣ
＝０，则 →ＧＡ ＝ － →ＧＢ － →ＧＣ，代 入 （ｓｉｎＡ）→ＧＡ ＋
（ｓｉｎＢ）→ＧＢ＋（ｓｉｎＣ）→ＧＣ＝０得，（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）→ＧＢ＋
（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ）→ＧＣ＝０，∵ →ＧＢ· →ＧＣ不共线，∴ｓｉｎＡ－
ｓｉｎＢ＝０且 ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ＝０，即 ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＣ，
∴△ＡＢＣ是等边三角形，又△ＡＢＣ外接圆的半径为
１，∴ 由 正 弦 定 理 得， ａ
ｓｉｎ６０°＝２Ｒ＝２，则 ａ 槡＝ ３，
∴Ｓ△ＡＢＣ ＝槡３
４ａ２＝ 槡３ ３
４，故选 Ｂ．）２ 数学（文） 金学导航·大联考
１２．Ａ（解析：设数列｛ａｎ｝的公比为 ｑ，由 ａ６ ＝ａ３ａ４，
ａ１ａ８＝１２８得，
ａ１ｑ５＝ａ１ｑ２·ａ１ｑ３
ａ１·ａ１ｑ７{ ＝１２８
，解得，ａ１ ＝１，ｑ＝
２，∴ａｎ ＝２ｎ－１，∵ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ＋ａ２ｘ２ ＋… ＋ａ２０ｘ２０，
∴ｆ′（ｘ）＝ａ１＋２ａ２ｘ＋… ＋２０ａ２０ｘ１９，则 ｆ′（１
２）＝
ａ１＋２ａ２· １
２＋… ＋２０ａ２０（１
２）１９，∵ａｎ·（１
２）ｎ－１ ＝
２ｎ－１×（１
２）ｎ－１＝１，∴ｆ′（１
２）＝ａ１＋２ａ２· １
２＋… ＋
２０ａ２０（１
２）１９＝１＋２＋… ＋２０＝２０（１＋２０）
２ ＝２１０，由
题设知，ｋ
１０５×２１０＝－１，∴ｋ＝－１
２，故选 Ａ．）
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１３．［－１，１
２］（解析：作出
不等式组
ｙ≤２ｘ
ｘ＋ｙ≤３
ｙ≥{ ０
所表示
的平面区域，如图所示，ｚ＝
ｙ－１
ｘ＋１的最大值即为直线 ＢＡ
的斜率 １
２，最小值为直线 ＢＯ的斜率 －１，故取值范
围是［－１，１
２］．）
１４． 槡２ ６
３ （解析：连结 ＤＡ１，ＤＢ，ＤＣ１，由长方体的性质
知，∠Ａ１ＤＢ１ ＝α，∠ＢＤＢ１ ＝β，∠Ｃ１ＤＢ１ ＝θ，∵Ａ１Ｂ２
１
＋ＢＢ２
１ ＋Ｃ１Ｂ２
１ ＝２４，∴ＤＢ１ 槡＝ ２４，∴ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋
ｓｉｎθ＝Ａ１Ｂ１
ＤＢ１
＋ＢＢ１
ＤＢ１
＋Ｃ１Ｂ１
ＤＢ１
＝Ａ１Ｂ１＋ＢＢ１＋Ｃ１Ｂ１
ＤＢ１
＝
８
槡２４
＝ 槡２ ６
３ ．）
１５．（－∞，－２）∪ （２，＋∞）（解 析：∵ ｆ（ｘ）＝
ｃｏｓｘ－ｘ，ｘ≤０
１－ｘ
ｘ＋１，ｘ{ ＞０ ，∴ ｆ′（ｘ） ＝
－ｓｉｎｘ－１，ｘ≤０
－２
（ｘ＋１）２，ｘ{ ＞０，
则 ｆ′（ｘ）≤０，∴ｆ（ｘ）在 Ｒ上单调递减，又 ｆ（０）＝１，
∴不等式 ｆ［ｇ（ｘ）］＜１即为 ｆ［ｇ（ｘ）］＜ｆ（０），
则 ｇ（ｘ）＞０，即 ｌｏｇ３（ｘ２－３）＞０，∴ｘ２ －３＞１，解得，
ｘ＞２或 ｘ＜－２，∴不等式 ｆ［ｇ（ｘ）］＜１的解集为
（－∞，－２）∪（２，＋∞）．）
１６．１６（解析：由题设知，圆 Ｃ１ 的圆心为 Ｃ１（２，２），
半径为 ２，圆 Ｃ２的圆心为 Ｃ２（－２，－１），半径为槡２，
过 Ｃ２作 Ｃ２Ｄ⊥ＡＢ交 ＡＢ于 Ｄ，则 Ｄ为 ＡＢ的中点，
且｜Ｃ２Ｄ｜＝ （槡２）２－１槡 ２ ＝１，∴ 点 Ｄ的轨迹为 圆
Ｃ３：（ｘ＋２）２＋（ｙ＋１）２ ＝１，其圆心为 Ｃ３（－２，－１），
半径为 １，由向量的平行四边形法则知，｜→ＰＡ＋→ＰＢ｜＝
｜２→ＰＤ｜，∵｜Ｃ１Ｃ３｜＝５＞２＋１＝３，∴圆 Ｃ１ 与圆 Ｃ３ 外
离，则｜→ＰＤ｜的最大值为 ５＋２＋１＝８，｜→ＰＡ＋→ＰＢ｜的最
大值是 １６．）
１７．解：（１）∵Ｓｎ＝２ｎ２＋３ｎ，
∴当 ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝５，
当 ｎ≥２时，ａｎ ＝Ｓｎ －Ｓｎ－１ ＝２ｎ２ ＋３ｎ－２（ｎ－１）２ －
３（ｎ－１）＝４ｎ＋１，
ａ１＝５也满足，∴ａｎ＝４ｎ＋１； （３分）!!!!!!
∵ａｎｂｎ＝４ｎ２＋ｎ，∴ｂｎ＝４ｎ２＋ｎ
ａｎ
＝４ｎ２＋ｎ
４ｎ＋１＝ｎ，
故数列｛ｂｎ｝的通项公式为 ｂｎ＝ｎ； （６分）!!!!
（２）由（１）知，ｂｎ＝ｎ，∴Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ
＝１＋２＋３＋… ＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）
２ ， （９分）!!!!
由 Ｔｎ＞４５得，ｎ（ｎ＋１）
２ ＞４５，即 ｎ２＋ｎ－９０＞０，
∴ｎ＞９或 ｎ＜－１０（舍去），
故当 Ｔｎ＞４５时，ｎ的最小值为 １０． （１２分）!!!
１８．（１）证明：∵Ｆ在下底面圆周上，且 ＡＢ为下底
面半圆的直径，∴ＡＦ⊥ＢＦ，
由题设知，ＥＦ∥ＡＤ，又 ＡＤ为圆柱的母线，
∴ＥＦ垂直于圆柱的底面， （３分）!!!!!!!
则 ＥＦ⊥ＢＦ，又 ＡＦ∩ＥＦ＝Ｆ，∴ＢＦ⊥平面 ＡＤＥＦ，
∵ＢＦ平面 ＢＣＥＦ，∴平面 ＡＤＥＦ⊥平面 ＢＣＥＦ；
（５分）!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）解：设圆柱的底面半径为 ｒ，
由题设知，πｒ＝２π，∴ｒ＝２，则 ＣＤ＝４，
∵ＤＥ＝２
３ＤＣ，ＡＦ＝２
３ＡＢ，∴∠ＣＤＥ＝３０°，
又 ＤＥ⊥ＣＥ，∴ＣＥ＝１
２ＣＤ＝２，ＤＥ 槡＝２ ３，
（８分）
!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!３ 数学（文） 金学导航·大联考
由（１）知，ＤＥ⊥平面 ＢＣＥＦ，
∴ＤＥ为四棱锥 Ｄ－ＢＣＥＦ的高，
又 ＡＤ＝ＢＣ＝４，
∴ＶＤ－ＢＣＥＦ ＝１
３ＳＢＣＥＦ·ＤＥ＝１
３·ＢＣ·ＣＥ·ＤＥ
＝１
３ 槡×４×２×２ ３＝ 槡１６ ３
３ ． （１２分）!!!!!!
１９．解：（１）设抽到不相邻两组的数据为事件 Ａ，
设这 ６组数据分别为 １，２，３，４，５，６，从中选取 ２组
数据共有：１２，１３，１４，１５，１６，２３，２４，２５，２６，３４，３５，
３６，４５，４６，５６共 １５种情况，
其中，抽到相邻数据的情况有：１２，２３，３４，４５，５６共
５种情况，
∴Ｐ（Ａ）＝１－５
１５＝２
３； （４分）!!!!!!!!
（２）后四组数据是：
间隔时间 ｘ（分钟） １３ １２ １５ １４
侯车人数 ｙ（人） ２９ ２６ ３１ ２８
∴ｘ＝１３＋１２＋１５＋１４
４ ＝１３．５，
ｙ＝２９＋２６＋３１＋２８
４ ＝２８．５，
又∑
４
ｉ＝１
ｘｉｙｉ＝１３×２９＋１２×２６＋１５×３１＋１４×２８＝
１５４６，
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘ２
ｉ＝１３２＋１２２＋１５２＋１４２＝７３４， （７分）!!!
∴ )
ｂ＝
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘｉｙｉ－ｎｘｙ
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘ２
ｉ－ｎｘ２
＝１５４６－４×１３．５×２８．５
７３４－４×１３．５２ ＝１．４，
则 )
ａ＝ｙ－ )
ｂｘ＝２８．５－１．４×１３．５＝９．６，
∴ｙ关于 ｘ的线性回归方程为 )
ｙ＝１．４ｘ＋９．６；
（９分）
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
（３）由（２）知，当 ｘ＝１０时，)
ｙ＝２３．６，
∴｜２３．６－２３｜＜１，
当 ｘ＝１１时，)
ｙ＝２５，∴｜２５－２５｜＜１，
∴求出的回归方程是最佳回归方程；
当 ｘ＝１８时，)
ｙ＝１．４×１８＋９．６＝３４．８，
∵３４．８＜３５，∴间隔时间设置为 １８分钟合适．
（１２分）
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
２０．（１）解：∵四边形 Ｂ１Ｆ２Ｂ２Ｆ１ 是面积为 ２的正方
形，∴
ａ２＝２
２ｂ＝２{ ｃ
， （２分）!!!!!!!!!!!
又 ａ２＝ｂ２＋ｃ２，∴ｂ＝ｃ＝１，
则椭圆 Ｃ的标准方程是ｘ２
２＋ｙ２＝１； （４分）!!!
（２）证明：由（１）知，Ｆ２（１，０），
当直线 ｌ的斜率不存在时，ｌ⊥ｘ轴，
则点 Ｍ，Ｎ关于 ｘ轴对称，
此时有，∠ＭＰＦ２＝∠ＮＰＦ２； （６分）!!!!!!
当直线 ｌ的斜率存在时，
设直线 ｌ的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ－１），
联立
ｙ＝ｋ（ｘ－１）
ｘ２
２＋ｙ２{ ＝１
消去 ｙ得，
（２ｋ２＋１）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２ｋ２－２＝０，
设 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），
则 ｘ１＋ｘ２＝ ４ｋ２
２ｋ２＋１，ｘ１ｘ２＝２ｋ２－２
２ｋ２＋１， （８分）!!!
∵Ｐ（２，０），∴ｋＭＰ ＋ｋＮＰ ＝ ｙ１
ｘ１－２＋ ｙ２
ｘ２－２
＝ｋ（ｘ１－１）（ｘ２－２）＋ｋ（ｘ２－１）（ｘ１－２）
（ｘ１－２）（ｘ２－２）
＝２ｋｘ１ｘ２－３ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋４ｋ
ｘ１ｘ２－２（ｘ１＋ｘ２）＋４
＝
２ｋ×２ｋ２－２
２ｋ２＋１－３ｋ× ４ｋ２
２ｋ２＋１＋４ｋ
２ｋ２－２
２ｋ２＋１－２× ４ｋ２
２ｋ２＋１＋４
＝０，
即 ｋＭＰ ＝－ｋＮＰ，∴∠ＭＰＦ２＝∠ＮＰＦ２． （１２分）!!
２１．解：（１）由题设知，
ｈ（ｘ）＝１
２ａｘ２＋２ｘ－ｌｎｘ，ｘ＞０，
则 ｈ′（ｘ）＝ａｘ＋２－１
ｘ＝ａｘ２＋２ｘ－１
ｘ ； （１分）!!
∴ｈ′（１）＝ａ＋１，又 ｈ（１）＝１
２ａ＋２，
∴切点为（１，１
２ａ＋２），
则切线方程为 ｙ－１
２ａ－２＝（ａ＋１）（ｘ－１），４ 数学（文） 金学导航·大联考
令 ｘ＝０，则 ｙ＝－１
２ａ＋１，
由题设知，－１
２ａ＋１＝－２，
∴ａ＝６； （４分）!!!!!!!!!!!!!!
（２）∵ｆ（ｘ）＝１
２ａｘ２＋２ｘ，∴ｆ′（ｘ）＝ａｘ＋２，
则方程 ｇ（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）－（２ａ＋１）ｘ，
即为 ｌｎｘ＝ａｘ２＋２ｘ－（２ａ＋１）ｘ，
即为 ａｘ２＋（１－２ａ）ｘ－ｌｎｘ＝０；
令 Ｈ（ｘ）＝ａｘ２ ＋（１－２ａ）ｘ－ｌｎｘ，于是原方程在区
间（１
ｅ，ｅ）内根的问题，转化为函数 Ｈ（ｘ）在（１
ｅ，ｅ）
内的零点问题； （６分）!!!!!!!!!!!
∵Ｈ′（ｘ）＝２ａｘ＋（１－２ａ）－１
ｘ
＝２ａｘ２＋（１－２ａ）ｘ－１
ｘ ＝（２ａｘ＋１）（ｘ－１）
ｘ ；
∵ａ＞０，∴当 ｘ∈（０，１）时，
Ｈ′（ｘ）＜０，Ｈ（ｘ）是减函数，
当 ｘ∈（１，＋∞）时，Ｈ′（ｘ）＞０，Ｈ（ｘ）是增函数，
（９分）
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
若使 Ｈ（ｘ）在（１
ｅ，ｅ）内有且只有两个不相等的零点，
只需
Ｈ（１
ｅ）＝ ａ
ｅ２ ＋１－２ａ
ｅ ＋１＝（１－２ｅ）ａ＋ｅ２＋ｅ
ｅ２ ＞０
Ｈｍｉｎ（ｘ）＝Ｈ（１）＝ａ＋（１－２ａ）＝１－ａ＜０
Ｈ（ｅ）＝ａｅ２＋（１－２ａ）ｅ－１＝（ｅ２－２ｅ）ａ＋（ｅ－１）
{ ＞０
即可，
解得，１＜ａ＜ｅ２＋ｅ
２ｅ－１，
即 ａ的取值范围是（１，ｅ２＋ｅ
２ｅ－１）． （１２分）!!!!
２２．解：（１）∵圆 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝１，
∴Ｃ的直角坐标方程为 ｘ２＋ｙ２＝１，
圆心为（０，０），半径为 ｒ＝１；
∵直线 ｌ过点 Ｐ（－２，０），倾斜角为 α，
∴当 α＝π
２时，不合题意， （２分）!!!!!!!
当 α≠ π
２时，斜率为 ｋ＝ｔａｎα，
则直线的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ＋２），
即 ｋｘ－ｙ＋２ｋ＝０，∵直线 ｌ与圆 Ｃ相切，
∴ ｜２ｋ｜
ｋ２槡 ＋１
＝１，解得，ｋ＝±槡３
３，
即 ｔａｎα＝±槡３
３，∴α＝π
６或 α＝５π
６； （５分）!!!
（２）∵直线 ｌ与圆 Ｃ相交于不同两点 Ａ，Ｂ，
∴由（１）知，α∈［０，π
６）∪（５π
６，π），
设 Ａ，Ｂ，Ｑ对应的参数分别为 ｔＡ，ｔＢ，ｔＱ，
则 ｔＱ ＝ｔＡ＋ｔＢ
２ ， （７分）!!!!!!!!!!!!
将
ｘ＝－２＋ｔｃｏｓα
ｙ＝ｔｓｉｎ{ α
代入 ｘ２＋ｙ２＝１得，
ｔ２－４ｔｃｏｓα＋３＝０，
则 ｔＡ＋ｔＢ ＝４ｃｏｓα，∴ｔＱ ＝２ｃｏｓα，
又点 Ｑ的坐标（ｘ，ｙ）满足
ｘ＝－２＋ｔＱｃｏｓα
ｙ＝ｔＱｓｉｎ{ α
，
即
ｘ＝－２＋２ｓｉｎ２α
ｙ＝２ｃｏｓαｓｉｎ{ α
，
故点 Ｑ的轨迹的参数方程是
ｘ＝－１＋ｃｏｓ２α
ｙ＝ｓｉｎ２{ α
（α为
参数，α∈［０，π
６）∪（５π
６，π））． （１０分）!!!!
２３．解：（１）当 ２ａ＋ｂ＝２，ｃ＝｜ｘ＋１｜时，
不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ为｜ｘ＋３｜≥２＋｜ｘ＋１｜，
当 ｘ≤ －３时，－ｘ－３≥２－ｘ－１，－３≥１，无解；
（２分）
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
当 －３＜ｘ＜－１时，ｘ＋３≥２－ｘ－１，ｘ≥ －１，无解；
当 ｘ≥ －１时，ｘ＋３≥２＋ｘ＋１，３≥３，∴ｘ≥ －１；
综上，不等式的解集为｛ｘ｜ｘ≥ －１｝； （５分）!!!
（２）由柯西不等式得，
（２ａ＋ｂ＋ｃ）２≤（２２＋１２＋１２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２），
∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝６，∴（２ａ＋ｂ＋ｃ）２≤３６， （７分）!
则 ２ａ＋ｂ＋ｃ≤６；∵不等式 ｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ对所
有实数 ａ，ｂ，ｃ都成立，
∴｜ｘ＋３｜≥６，∴ｘ＋３≥６或 ｘ＋３≤ －６，
则 ｘ≥３或 ｘ≤ －９，
故实数 ｘ的取值范围是：（－∞，－９］∪［３，＋∞）．
（１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!
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