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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年上学期高一期末考试
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·五省联考]已知全集，则下列能正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2018·三明期中]已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．[2018·重庆八中]下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
4．[2018·大庆实验中学]已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．[2018·金山中学]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
6．[2018·黄山八校联考]若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
7．[2018·宿州期中]已知直线与垂直，则（ ）
A． B． C． D．2
8．[2018·合肥九中]直线过点，被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
9．[2018·南宁模拟]如图，棱长为的正方体中，为中点，这直线与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．[2018·东城期末]已知圆，直线，设圆上到直线的距离为1的点的个数为，当时，则的可能取值共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
11．[2018·云天化中学]如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且．则下列结论中正确的个数为（ ）
①；
②平面；
③三棱锥的体积为定值；
④的面积与的面积相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．[2018·湛江调研]点、、、在同一个球的球面上，，
若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·华东师大附中]已知，则的解析式为__________．
14．[2018·嘉兴三中]已知点，，，则中，边上中线所在的直线方程为________．
15．[2018·赣州期中]设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________．
主视图 左视图 俯视图
16．[2018·嘉兴一中]若函数在区间上有两个零点，
则实数的取值范围是_______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）[2018·安庆期中]设全集，，都是的子集，，，
（1）写出所有符合题意的集合；
（2）计算：．
18．（12分）[2018宜昌期中·]设是实数，，
（1）证明：是增函数；
（2）试确定的值，使为奇函数．
19．（12分）[2018·华安一中]已知点，，是以为底边的等腰
三角形，点在直线上．
（1）求边上的高所在直线的方程；(结果写成直线方程的一般式)
（2）求的面积．
20．（12分）[2018·定远月考]如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱．
（1）试用表示圆柱的高；
（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
21．（12分）[2018·泸化中学]如图，四棱锥中，底面是矩形，，底面，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
22．（12分）[2018·陕西四校联考]如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
2018-2019学年上学期高一期末考试
数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】为的解集，解可得，或，
则，，由选项中的Venn图可得选项A符合题意，故选A．
2．【答案】C
【解析】由题意得，∴．故选C．
3．【答案】D
【解析】根据奇偶性的定义知A即不是奇函数也不是偶函数，C是奇函数，B、D是偶函数，在上B是减函数，D是增函数．故选D．
4．【答案】C
【解析】函数是增函数，且一个零点在区间内，根据零点存在
定理得到解得的范围是．故答案为C．
5．【答案】A
【解析】画出直观图如下图所示，计算各面的面积为，，，故最大面积为，所以选A．
6．【答案】D
【解析】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或或与相交，故B错误；
对于C，若，，，，则或、相交，故C错误；
对于D，若，，，由线面平行的性质定理，可得，
故D正确，故选D．
7．【答案】D
【解析】很明显直线的斜率存在，直线方程即，，
由直线垂直的充分必要条件可得：，解得．本题选择D选项．
8．【答案】D
【解析】因为直线被圆，截得的弦长为，所以圆心到直线距离为，设直线的方程为，（斜率不存在时不满足题意）则，或，即直线的方程是或，故选D．
9．【答案】C
【解析】连接，因为几何体是正方体，所以就是直线与平面
所成角，，故选C．
10．【答案】B
【解析】因为圆上到直线的距离为，
所以当时，圆上到直线的距离为1的点的个数为3；
当时，圆上到直线的距离为1的点的个数为2；
当时，圆上到直线的距离为1的点的个数为4；
因此的可能取值共有3种，故选B．
11．【答案】C
【解析】连结，则平面，．
，平面，从而①②正确，
又面积为定值，到平面距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，从而③正确，
因为到的距离不等于．所以的面积与的面积不相等，④错误．
故选C．
12．【答案】B
【解析】根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为，由于底面积不变，高最大时体积最大，
所以与面垂直时体积最大，最大值为，∴，
设球心为，半径为，则在直角中，，
即，∴，
则这个球的表面积为，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】因为，令，则，
，
函数的解析式为，故答案为．
14．【答案】
【解析】设中点为，已知，，则，
因为，所以边上中线所在的直线方程为．
15．【答案】36
【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个长、宽、高分别为4，2，2的长方体截去一个三棱锥后剩下的部分（如图所示）．
∵的三边长分别分，，，∴．
故该几何体的表面积．
16．【答案】
【解析】由题意，要使函数在区间上有两个零点，
只要，即，解得，故答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），，，；（2）2．
【解析】（1）集合为，，，．
（2）
．
18．【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】（1）证明：设、且，
，
又由在上为增函数，则，，
由，可得，则，
故为增函数，与的值无关，即对于任意，在为增函数．
（2）若为奇函数，且其定义域为，必有有，
即，变形可得，
解可得，，即当时，为奇函数．
19．【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）由题意可知，为的中点，，
∴，且，∴所在直线方程为，即．
（2）由，得，∴，∴，，
∴，∴．
20．【答案】（1）；（2）当时，它的侧面积最大为．
【解析】（1）设所求的圆柱的底面半径为，它的轴截面如图，
，，圆柱的高为，由图，得，即．
（2）∵，
当时，圆柱的侧面积取得最大值为．
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为．
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，．
因为，分别是，的中点，所以，且．
又是的中点，所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，故．
又平面，平面，所以平面．
（2）因为底面，底面，所以．
因为四边形是矩形，且，
所以，，所以，．
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
22．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵，是的中点，∴，
∵直三棱柱中平面，∴平面平面，
∴平面，∴．
又∵在正方形中，，分别是，的中点，∴．
又，∴平面．
（2）连结交于，
∵为的中点，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离．
∴．
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