长春市实验中学
2018-2019学年上学期期末考试
实验 卓越 幸福
高三数学试卷（理）
考试时间：120分钟 分值：150分
一． 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合, ，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为（ ）
A． B． C． D． 或
3.函数的递增区间为
A． B． C． D．
4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，
① ②
③ ④若,，则
则以上说法中正确的有( )个
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
5.下列判断中正确的是（ ）
A． “若，则有实数根”的逆否命题是假命题
B． “”是“直线与直线平行”的充要条件
C． 命题“”是真命题
D． 已知命题，使得；命题，则是真命题.
6.设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，，则数列的前2019项和为（ ）
A．1 B． C． D．
7.若向量满足，则与夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A． 20 B． 15 C． 10 D． 5
9.设 的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 函数的周期为 B． 函数为偶函数
C． 函数在上单调递增 D． 函数的图象关于点对称
11.函数在区间上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
一． 填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上
13.曲线与轴所围成的封闭图形的面积是______．
14.是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过______心（内心、外心、垂心或重心）．
15.已知圆，圆，则两圆的公共弦长是 ______．
16.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为__________．
三． 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17． (本题共10分）
已知等差数列中，，前12项和(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列满足，记数列的前项和为，求证： 。
18． (本题共12分)
已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称.（1）求的单调递减区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，且，，求外接圆的面积.
19． (本题共12分)
设．
（1）若，判断并证明函数的奇偶性；
（2）令，，求函数的最大值和最小值.
20． (本题共12分)
如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，∥，，，四边形为正方形，平面平面.
（Ⅰ）若点是棱的中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
17． (本题共12分)
如图，圆：．
（Ⅰ）若圆与轴相切，求圆的方程；
（Ⅱ）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
18． (本题共12分)
已知函数.
(1)若，求的最小值； (2)若,求的单调区间；
(3)试比较与的大小,并证明你的结论.
长春市实验中学
2018-2019学年上学期期末考试
实验 卓越 幸福
高三数学试卷（理）参考答案
一． 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
D
C
A
C
B
C
B
A
二． 填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上
13.4 14．重心 15．16.
三． 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17． (本题共10分）
【解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵ a1=－1，S12=186，，
即186=-12+66d ∴d=3，所以数列的通项公式为
（2） ∵∴又∵ 所以
数列是以为首项，公比是 的等比1所以
,，
18． (本题共12分)
【答案】（Ⅰ），
∵函数的图象关于直线对称，∴，，∴，，
又，∴.∴.由，
得． ∴的单调递减区间为，.
（Ⅱ）∵，∴.∵，∴，
∴，∴.
在中，由余弦定理得，
∴.
由正弦定理得，∴，∴外接圆的面积．
17． (本题共12分)
【答案】（1）的定义域为
所以函数为奇函数．
（注：没求定义域，或者定义域求错的，该问得0分）
（2）
，
设，因，所以令，所以
当时，即时，当时即时
18． (本题共12分)
【答案】（Ⅰ）证明：由已知得//，且.
因为为等腰梯形，所以有//.因为是棱的中点，所以．
所以//，且，故四边形为平行四边形,所以//.
因为平面，平面，所以//平面．
解：
（Ⅱ）因为四边形为正方形，所以.因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面.
在△中，因为，，
所以由余弦定理，得，所以．在等腰梯形中，可得.
如图,以为原点，以所在直线分别为轴，
建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由
所以，取，则，得．
设直线与平面所成的角为，则，
所以与平面所成的角的正弦值为.
（Ⅲ）线段上不存在点，使平面平面．证明如下：
假设线段上存在点，设，则．
设平面的法向量为，由所以，
取，则，得．
要使平面平面，只需，即， 此方程无解．
所以线段上不存在点，使平面平面．
17． (本题共12分)
【答案】（Ⅰ）因
得，由题意得，
所以 ,故所求圆C的方程为．
（Ⅱ）令，得，即
所以 假设存在实数，
当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，
代入得，，
设从而
又因为
而
因为，所以，即，得．当直线AB与轴垂直时，也成立．故存在，使得.
考点：1.圆的方程；2.直线与圆相交的综合运用
17． (本题共12分)
已知函数.(1)若，求的最小值；
(2)若,求的单调区间；
(3)试比较与的大小,并说明你的理由.
【答案】(1) 当时,，在上是递增.
当时,,.在上是递减.
故时, 的增区间为,减区间为,.
(2) ①若,
当时,,,则在区间上是递增的;
当时,,,则在区间上是递减的
②若,
当时, ,,;
. 则在上是递增的, 在上是递减的;
当时,,
在区间上是递减的,而在处有意义;
则在区间上是递增的,在区间上是递减的
综上: 当时, 的递增区间是,递减区间是;
当,的递增区间是,递减区间是
(3)由(1)可知,当时,有即
则有
=
故：.
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2018-2019学年上学期期末考试
实验 卓越 幸福
高三数学试卷（理）参考答案
一． 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
D
C
A
C
B
C
B
A
二． 填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上
13.4 14．重心 15．16.
三． 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17． (本题共10分）
【解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵ a1=－1，S12=186，，
即186=-12+66d ∴d=3，所以数列的通项公式为
（2） ∵∴又∵ 所以
数列是以为首项，公比是 的等比1所以
,，
18． (本题共12分)
【答案】（Ⅰ），
∵函数的图象关于直线对称，∴，，∴，，
又，∴.∴.由，
得． ∴的单调递减区间为，.
（Ⅱ）∵，∴.∵，∴，
∴，∴.
在中，由余弦定理得，
∴.
由正弦定理得，∴，∴外接圆的面积．
17． (本题共12分)
【答案】（1）的定义域为
所以函数为奇函数．
（注：没求定义域，或者定义域求错的，该问得0分）
（2）
，
设，因，所以令，所以
当时，即时，当时即时
18． (本题共12分)
【答案】（Ⅰ）证明：由已知得//，且.
因为为等腰梯形，所以有//.因为是棱的中点，所以．
所以//，且，故四边形为平行四边形,所以//.
因为平面，平面，所以//平面．
解：
（Ⅱ）因为四边形为正方形，所以.因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面.
在△中，因为，，
所以由余弦定理，得，所以．在等腰梯形中，可得.
如图,以为原点，以所在直线分别为轴，
建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由
所以，取，则，得．
设直线与平面所成的角为，则，
所以与平面所成的角的正弦值为.
（Ⅲ）线段上不存在点，使平面平面．证明如下：
假设线段上存在点，设，则．
设平面的法向量为，由所以，
取，则，得．
要使平面平面，只需，即， 此方程无解．
所以线段上不存在点，使平面平面．
17． (本题共12分)
【答案】（Ⅰ）因
得，由题意得，
所以 ,故所求圆C的方程为．
（Ⅱ）令，得，即
所以 假设存在实数，
当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，
代入得，，
设从而
又因为
而
因为，所以，即，得．当直线AB与轴垂直时，也成立．故存在，使得.
考点：1.圆的方程；2.直线与圆相交的综合运用
17． (本题共12分)
已知函数.(1)若，求的最小值；
(2)若,求的单调区间；
(3)试比较与的大小,并说明你的理由.
【答案】(1) 当时,，在上是递增.
当时,,.在上是递减.
故时, 的增区间为,减区间为,.
(2) ①若,
当时,,,则在区间上是递增的;
当时,,,则在区间上是递减的
②若,
当时, ,,;
. 则在上是递增的, 在上是递减的;
当时,,
在区间上是递减的,而在处有意义;
则在区间上是递增的,在区间上是递减的
综上: 当时, 的递增区间是,递减区间是;
当,的递增区间是,递减区间是
(3)由(1)可知,当时,有即
则有
=
故：.
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