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厦门外国语学校2018-2019学年高三第三次月考
数学（理）试题
一、选择题
1.已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2. “”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.数列为等差数列，是其前项的和，若，则 （ ）
A． B． C． D．
4. 若，（常数），则点的轨迹是 （ ）
A． 椭圆 B． 线段 C. 椭圆或线段 D．椭圆或直线
是
否
5.已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作品完善
了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有
题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三
遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，右图为该问题的程序
框图，若输出的值为0，则开始输入的值为 （ ）
A. B. C. D.
7.已知函数的最大值为2，且满足，
则 （ ）
A． B． C.或 D．或
8.已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C. D．
9.已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的
取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10.已知等腰直角中，，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B），
沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A. 1 B. C. D.
11. 给定两个单位向量， ，且，点在以为圆心的圆弧上运动，
，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
12. 已知数列的前项和为，数列为，
若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数
14. 过直线与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的
为 ．
15. 如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是
由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为
16.已知直线上与函数的图象交于三点,
其横坐标分别是。若对任意的，恒成立,则实数a的取值范围是________
三、解答题
17. （本小题12分）已知数列和对任意的满足，若数列是等比数列，
且.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18.（本小题12分）在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交
单位圆于点，且，点的坐标为．
（I）若，求点的坐标；
（II）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，
求的最大值．
19.（本小题12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）证明：直线∥面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得二面角
的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出
点所在的位置。
20. （本小题12分）在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对
上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线关于轴对称，且分别交曲线于，若四
边形的面积等于，求直线的方程.
21. （本小题12分）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若时，求曲线的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【请从22，23题中任选一题答在22题位置】
22．（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围．
23.（本小题10分）已知函数.
(Ⅰ)当时，解不等式；
(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围.
1.已知集合，，则 （ A ）
A． B． C． D．
2. “”是“”的 （ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.数列为等差数列，是其前项的和，若，则 （ D ）
A． B． C． D．
4. 若，（常数），则点的轨迹是 （ C ）
A． 椭圆 B． 线段 C. 椭圆或线段 D．椭圆或直线
是
否
5、已知实数满足，则的最小值为（ C ）
A． B． C． D．
6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作品完善
了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有
题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三
遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，右图为该问题的程序
框图，若输出的值为0，则开始输入的值为 （ C ）
A. B. C. D.
7.已知函数的最大值为2，且满足，
则 （ C ）
A． B． C.或 D．或
8.已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为
（ B ）
A． B． C. D．
9．已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的
取值范围是 （ D ）
A． B． C． D．
10. 已知等腰直角中，，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B），
沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（ D ）
A. 1 B. C. D.
11. 给定两个单位向量， ，且，点在以为圆心的圆弧上运动，
，则的最小值为 （ B ）
A. B. C. D.
因为， 所以有最小值-1.
12. 已知数列的前项和为，数列为，
若，则( D )
A. B. C. D.
13. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数 1
14. 过直线与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的方程为 ．
15. 如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积
为
16．已知直线上与函数的图象交于三点,其横坐标分别 是。若对任意的，恒成立,则实数a的取值范围是________．
17. （本小题12分）已知数列和对任意的满足，若数列是等比数列，
且.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
解：（Ⅰ）由条件可知，得，于是， ，解得，
又数列是等比数列，则公比为，于是，
又，于是， 解得.
（Ⅱ）由题意得，
.
18.（本小题12分）在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交
单位圆于点，且，点的坐标为．
（I）若，求点的坐标；
（II）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，
求的最大值．
试题解析：（I）由题意，，，
因为，所以，即．
又，所以，，，所以点的坐标为．
19.（本小题12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）证明：直线∥面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得二面角
的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出
点所在的位置。
解：（Ⅰ）依题意，在平面中，，
又平面，平面 ①；同理，在平面中，
，平面 ②；
面， 面，面，面，
由①②可得，平面平面.又面，所以直线∥面.
（本题可先证明后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）
（Ⅱ）设的中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。易知， ，，,.
设，.可得，设为平面的法向量，
由有，可取，
又面的法向量可取，所以
，
所以，又，。
存在满足条件的点，为中点。
20. （本小题12分）在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对
上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线关于轴对称，且分别交曲线于，若四边形的面积等于，求直线的方程.
解：（1）由已知得曲线是以为圆心，为半径的圆.
设，则到直线的距离等于，
又到圆上的点的距离的最小值为，
所以由已知可得，化简得， 所以曲线的方程为.
（2）
21. （本小题12分）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若，求曲线的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）略
（2），
依题意，当时，， 即当时，；
设，则，
设，则．
①当时，∵，∴，从而（当且仅当时，等号成立），
∴在上单调递增，
又∵，∴当时，，从而当时，，
∴在上单调递减，又∵，
从而当时，，即， 于是当时，；
②当时，令，得，∴，
故当时，，
∴在上单调递减，
又∵，∴当时，，从而当时，，
∴在上单调递增，又∵，
从而当时，，即，
于是当时，，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
22．（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在以原点为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围．
解：（1）曲线的直角坐标方程为，即，将
代入并化简得曲线的极坐标方程为，
由，两边同时乘以，得，将
代入得曲线的直角坐标方程为．
（2）设射线的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，
且． 联立，得，
联立，得
所以，
即的取值范围是
23.（本小题10分）已知函数.
(Ⅰ)当时，解不等式；
(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围.
解：（I）当时，，有
所以或或，
所以或或， 综上，不等式解集为
（Ⅱ）当时，恒成立，有.
恒成立. 或恒成立.
或恒成立，当时，① 或 ② 恒成立，
解①得不存在；解②得：. 综上知，.
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