遂宁市高中2019级第二学期教学水平监测
数 学 试 题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．计算的结果等于
A． B． C． D．
2．下列各组平面向量中，可以作为基底的是
A． B．
C． D．
3．为等差数列的前n项和，，则＝
A． B． C． D．
4．设，，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
5．在中，已知D是AB边上一点，若，
，则＝
A． B． C． D．
6．在中，则B等于
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．180
B．200
C．220
D．240
8．若是夹角为60°的两个单位向量，
，则，夹角为
A． B． C． D．
9．如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测
量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，
测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，
∠CAB＝105°. 则A，B两点间的距离
为
A．m B．m C．m D．m
10．已知等差数列{an}的前n项和为，，，
则使得取最大值时n的值为
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13
11．若，，，则的最小值是
A． B． C． D．
12．中，角的对边分别为，且满足
，，,则的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． ▲
14．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 ▲ 只蜜蜂.
15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ .
16．有下列命题：
①等比数列中，前n项和为，公比为，则，，仍然是等比数列,其公比为；
②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是cm3；
③若数列是正项数列，
且，
则；
④在中，D是边BC上的一点（包括端点），则的取值范围是.
其中正确命题的序号是 ▲ （填番号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分）
已知，．
（1）求；
（2）当k为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？
▲
18．（本题满分12分）
已知不等式的解集为
（1）求a、b的值；
（2）若不等式恒成立，则求出c的取值范围.
▲
19．（本题满分12分）
已知锐角中，角所对的边分别为，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
▲
20．（本题满分12分）
已知函数的最小值为
（1）求常数的值;
（2）若，，求的值.
▲
21．（本题满分12分）
已知数列中，，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列满足：，求的前项和.
▲
22．（本题满分12分）
已知二次函数同时满足：
①在定义域内存在，使得成立；
②不等式的解集有且只有一个元素；
数列的前项和为，，，。
（1）求的表达式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，，的前项和为，若对任意，且恒成立，求实数的取值范围.
▲
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数学试题参考答案及评分意见
一、选择题（5′×12=60′）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
D
D
C
D
C
A
D
B
B
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．243 或者 15． 16．②③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（10分）
解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，
所以a＋3b＝(7,3)，∴|a＋3b|＝ ＝. ……………5分
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， ……………7分
因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－. ……………8分
此时ka－b＝(k－2，－1)＝，a＋3b＝(7,3)， ……………9分
则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反． ……………10分
18．（12分）
解：（1）由题意知a＞0且1，b是方程ax2﹣3x+2=0的根， ……………2分
∴a=1，又，∴b=2 ……………6分
（2）由不等式x2﹣2（3+1）x﹣c＞0恒成立
可知 ……………10分
即 ……………12分
19．（12分）
解：（1）由题可知， ……………2分
所以， ……………3分
因为,所以 ……………6分
（2）由余弦定理可知，
即 ……………7分
，即.
（当且仅当时取等号） …………10分
所以，
即的面积的最大值为。 …………12分
20．（12分）
解：（1）
=， …………3分
∴f(x)min=-1+1+k=-3，解得k = -3． …………5分
（2）∵．
∴，即. …………6分
∵，∴．
∵ 若，则，
若，则，
显然，且，∴．
∴=， …………10分
∴
=×+× =． …………12分
21．（12分）
解：（1）， ， …………2分
又 数列是首项为1，公差为3的等差数列。 …………4分
（2） …………6分
（3） …………7分
… …………8分
… …………9分
… …………10分
…………11分
…………12分
22．（12分）
解：（1）由不等式的解集有且只有一个元素，得：
或 …………1分
当时，，在上单增，不合题意，舍 …………2分
当时，在上单减，
故存在，使得成立 ……3分
（2）由①知： 当时， …………4分
当时，
…………5分
…………6分
（3） …………8分
当时，
…
…………10分
对恒成立
…………11分
设，是关于的增函数
的取值范围是： …………12分
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