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济南一中高三年级2018新年学业检测
数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，
注意事项：
1． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
2． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
(2) 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
(3) 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（ ）
A．60里 B．48里 C．36里 D．24里
(4) 从数字，，，，中任取个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（ ）
A B C D
(5) 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为
开始
结束
输入x
是
否
输出
A 6 B 8 C 10 D 12
(6) 若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（ ）
A 4 B 9 C 10 D 12
(7) 直线与圆相切，则（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
(8) 已知函数，则下列结论中正确的是
A. 函数的最小正周期为
B.函数的图象关于点对称
C.由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D. 函数在区间上单调递增
(9) 函数，则函数的导数的图象是（ ）
A B．
C ． D．
(10) 如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是
A. B.
C. D.
(11) 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为
A. B. C. D.
(12) 设函数的定义域为R , , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为
A. B. C. D .
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共20分．
(13) 函数的极小值为 ．
(14) 设是公差为正数的等差数列，若，，____.
(15) 已知平面向量与的夹角为，，，则 .
(16) 如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则_________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)（本小题满分分）
在△中，分别为内角的对边，.
(Ⅰ) 求的大小；
(Ⅱ) 若, , 求△的面积.
(18)（本小题满分分）
韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．
(1)依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数
（2）请依上述支持率完成下表：
年龄分布
是否支持
[30，40）和[40，50）
[50，60）和[60，70）
合计
支持
不支持
合计
根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？
附表：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中 参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）
(19)（本小题满分分）
如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
(20)（本小题满分分）
已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
(21) （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：.
（22）（本小题满分10分）选修4－5: 不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时，求函数的定义域；
(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R，求实数的最大值．
月考答案
1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C 9.A 10.A 11.D 12.B
13. -2 14. 105 15. 2 16. 20
17. (Ⅰ)解: ∵,
由正弦定理得，， ……………………………………1分
化简得，. ……………………………………………………2分
∴. …………………………………………………4分
∵，
∴. ……………………………………………………5分
(Ⅱ)解：∵, ∴. …………………………………6分
∴. …………8分
由正弦定理得，， ……………………………………………………9分
∵，，
∴. ………………………………………………………10分
∴△的面积. ………12分
18. 解：（1）设年龄在[50，60）的人数为x，则最后三组人数之和为3x，
所以四组总人数为4x=800，得x=200，
则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，
[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；
（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9=15，[50，60）和[60，70）的人数为12+13=25．
填表如下
年龄分布
是否支持
[30，40）和[40，50）
[50，60）和[60，70）
合计
支持
15
25
40
不支持
485
275
760
合计
500
300
800
所以K2=≈11.228＞10.828，
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．
19. （Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．
因为∠ABC=，EF∥BC，
故AB⊥EF，
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB==，
从而S△ABC=AB•BC=x，
由EF∥BC知，得△AFE∽△ABC，
故=（）2=，即S△AFE=S△ABC，
由AD=AE，S△AFD==S△ABC=S△ABC=x，
从而四边形DFBC的面积为：SDFBC=S△ABC-SAFD=x-x=x．
由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．
在直角△PEC中，PE===2，
故体积VP-DFBC=SDFBC•PE=x=7，
故得x4-36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3．
所以：BC=3或BC=3．
20. （Ⅰ）解：由题设，∵椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．
∴，①且=，②
由①、②解得a2=6，b2=3，
∴椭圆C的方程为．…
（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，
∵﹣2，x1是该方程的两根，∴﹣2x1=，即x1=．
设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2），同理得x2=．…
因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2），
故kPQ====1，
因此直线PQ的斜率为定值．…
21. （21）（Ⅰ）解：当时，，
所以．………………………………………………………………1分
所以，. …………………………………………………2分
所以曲线在点处的切线方程为．
即.………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）证法一：当时，.
要证明，只需证明.……………………………………4分
以下给出三种思路证明.
思路1：设，则.
设，则，
所以函数在上单调递增．…………………………6分
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.…………8分
因为时，所以，即.………………………………9分
当时，；当时，.
所以当时，取得最小值．……………………………………10分
故．
综上可知，当时，.………………………………………………12分
思路2：先证明．………………………………………………5分
设，则．
因为当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．………………………………………7分
所以要证明，
只需证明．……………………………………………………8分
下面证明．
设，则．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．………………………………10分
由于取等号的条件不同，
所以．
综上可知，当时，.………………………………………………12分
（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）
思路3：先证明.
因为曲线与曲线的图像关于直线对称，
设直线与曲线，分别交于点，，点，到直线
的距离分别为，，
则．
其中，．
①设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，则．
所以．
②设，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．
所以．
所以．
综上可知，当时，.………………………………………………12分
证法二：因为，
要证明，只需证明.…………………………………4分
以下给出两种思路证明.
思路1：设，则.
设，则．
所以函数在上单调递增．……………………6分
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.……8分
因为，所以，即．……………………9分
当时，；当时，.
所以当时，取得最小值．……………………………………10分
故．
综上可知，当时，．………………………………………………12分
思路2：先证明，且．……………………5分
设，则．
因为当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值．
所以，即（当且仅当时取等号）．……………7分
由，得（当且仅当时取等号）．………………8分
所以（当且仅当时取等号）．……………………………9分
再证明．
因为，，且与不同时取等号，
所以
．
综上可知，当时，．………………………………………………12分
24. (Ⅰ)解：由题设知：， …………………………………1分
① 当时，得，解得. ………………………………2分
② 当时,得,无解. …………………………………3分
③ 当时,得, 解得. ……………………………4分
∴函数的定义域为. …………………………………5分
(Ⅱ)解：不等式，即， …………………………………6分
∵R时，恒有，…………………………8分
又不等式的解集是R，
∴，即. ……………………………………………………………9分
∴的最大值为. …………………………………………………………10分
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