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济南一中高三年级2018新年学业检测
数学试题（理科）
说明：满分150分，时间120分钟。分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（综合题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第5页，请将答案按要求写在答题纸指定位置。
第Ⅰ卷（选择题，共12题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知集合A＝{x|x2－x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A、A∩B＝ B、A∪B＝R C、BA D、AB
3.下列说法正确的是（ ）
A、，“”是“”的必要不充分条件
B、“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件
C、命题“，使得”的否定是：“，”
D、命题，则是真命题
4. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形
中为直角三角形的个数为（ ）
开始
否
输出b
是
结 束
a＝
b＝(a＋)
a＝b
输入n
|b－a|＜m？
A．2 B． 3 C. 4 D．5
5. 在区间上任选两个数和，则的概率为( )
A. B. C. D.
6. 一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的为6时，输出结果为2.45，则可以是( )
A、0.6 B、0.1 C、0.01 D、0.05
7.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则( )
A.，的最小值为 B. ，的最小值为
C. ，的最小值为 D. ，的最小值为
8.已知正项非常数等差数列的前项和为，且成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
9. 当时，函数的图象大致是（ ）
第10题图
A． B． C． D．
10.如图，扇形中，，是中点，
是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为 ( )
A． B． C． D．
11.已知三棱锥中，
，则该三棱锥的外接球的体积等于 ( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13.已知m ，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题
正确的有
① 若，，则
② ②若，则
③若，，，则
④若，，则
14.已知函数是R上的偶函数，且时恒成立，又的解集是 .
15.设实数满足，则的取值范围是 .
16.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第1题为：今有户出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？题目的意思是：每户应交税银1斤8两12铢，若考虑贫富的差别，家最贫者交8两，户别差为3两，则户数为 .(1斤=16两.1两=24铢)
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．
（Ⅰ）若λ＝，B＝，求sinA； （Ⅱ）若λ＝4，AB边上的高为，求C．
18. （本小题满分12分）各项均不为0的数列满足且
（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前项和.
A
C1
B1
C
B
M
N
A1
19.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90，AC＝CB＝2，M，N分别为AB，A1C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BB1C1C；
（Ⅱ）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的
正弦值．
20.（本小题满分12分）2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动了世界．朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜 “氢弹试验”事件引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名网友，新疆乌鲁木齐某微信群由200名微信好友．为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；
（Ⅱ）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；
（Ⅲ）规定：“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．
①请根据已知条件完成下列2×2的列联表；
强烈关注
非强烈关注
合计
丹东市
乌鲁木齐市
合计
②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？
附：临界值表及参考公式K2=，n=a+b+c+d
P（k2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（Ⅱ）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
22.（本小题满分10分）已知，函数的最大值为1.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时对应的与的值.
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数学试题（理科）答案
一、选择题答案：1—12 BBACD BCDBD AA ；
二、填空题答案 13-16 ③ 12
17.解：（Ⅰ）由已知B＝，a2＋b2＝ab结合正弦定理得：
4sin2A－2sinA＋1＝0，于是sinA＝． …4分
因为0＜A＜，所以sinA＜，取sinA＝ …6分
（Ⅱ）由题意可知S△ABC＝absinC＝c2，得：
absinC＝(a2＋b2－2abcosC)＝(4ab－2abcosC)．从而有：sinC＋cosC＝2，即sin()＝1又，所以． …12分
18.
（19）.解：（Ⅰ）连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，
A
A1
C1
B1
C
B
M
N
x
z
y
∴MN∥BC1，
又BC1Ì平面BB1C1C，MNË平面BB1C1C，
故MN∥平面BB1C1C． …4分
（Ⅱ）由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．
以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设CC1＝2λ（λ＞0），
则M(1，0，1)，N (0，λ，1)，B1(2，2λ，0)，
＝(1，0，1)，＝(－1，λ，0)，＝(2，λ，－1)．
取平面CMN的一个法向量为m＝(x，y，z)，由·m＝0，·m＝0得：
令y＝1，得m＝(λ，1，－λ)
同理可得平面B1MN的一个法向量为n＝(λ，1，3λ) …8分
∵平面CMN⊥平面B1MN，∴ m·n＝λ2＋1－3λ2＝0
解得λ＝，得n＝(，1，)，又＝(2，0，－2)，
设直线AB与平面B1MN所成角为θ，则sinθ＝|cosán，ñ|＝＝．
所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是． …12分
20（1）45×0.01×10+55×0.025×10+65×0.04×10+75×0.02×10+85×0.005×10=63.5≈64．
∴丹东市网友的平均留言条数是64条．（3分）
（2）留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有0.01×10×100×=6人，乌鲁木齐网友有0.005×=2人，
从中随机抽取2人共有=28种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐网友的结果共有=12+1=13种情况，
∴至少抽到1名乌鲁木齐网友的概率为P=．（7分）
（3）①列联表如下：
强烈关注
非强烈关注
合计
丹东市
15
45
60
乌鲁木齐市
15
25
40
合计
30
70
100
（8分）
②K2的观测值k=≈1.79，（10分）
∵1.79＜2.706，
∴没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关．（12分）
21.
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1
故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）
（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）（4分）
（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“∀x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．
令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，（6分）
求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）
当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0
∴φ（x）的最小值为，（8分）
由得，故当时，f（x）≤x恒成立，
当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，（10分）
当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，（11分）
综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．（12
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