衡阳市八中2018届高三第五次月考试题
文科数学
命题人 唐志军 审题人 孙艳红
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
第4题图
2．已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
4． 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米， 面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
5．函数图象的大致形状是（ ）
A． B． C. D．
6．已知双曲线关于直线对称的曲线为，若直线
与相切，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 3
7．已知无穷数列是各项均为正数的等差数列，则有（ ）
A． B． C． D．
8． 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
输入n,x
开始
v=1
i≥0？
输出v
结束
v=vx+i
i=i-1
i=n-1
否
是
第8题图
9．如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为 （ ）
A. 2 B. C. D.
10．若，，则 （ ）
A. B.
C. D.
11．对函数f:[0,1]→[0,1],定义f1(x)= f(x),…. fn(x)= f(fn-1(x)),n=1,2,3,…满足fn(x)=x的点x[0,1]称为f的一个n—周期点，现设.问f的一个n—周期点的个数是（ ）个.
A．2n B．2n2 C．2n D．2(2n-1)
12．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，若，则 ．
14．满足不等式组的点组成的图形的面积是,则实数的值为 .
15．下列命题是假命题的是 .
(1)命题“若,则”的逆否命题是“若,则”
(2)若命题:,则
(3)若为真命题,则均为真命题
(4)“”是“”的充分不必要条件
16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在中，角A，B，C的对边分别为．
(1)求角B的大小；
(2)若，求方向上的投影．
18．（12分）
在三棱锥中, △是等边三角形, ∠∠.
(1)求证: ⊥;
(2)若，，求三棱锥的体积.
19．（12分）
某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50
件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
质量指标值
频数
(190,195]
9
(195,200]
10
(200,205]
17
(205,210]
8
(210,215]
6
图1：乙流水线样本频率分布直方图
表1：甲流水线样本的频数分布表
（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；
（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两
条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（Ⅲ）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这
种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
附：（其中为样本容量）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分）
已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．
（1）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；
（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数恰有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]（10分）
在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；
（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数 ，记的解集为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时,证明：.
衡阳市八中2018届高三第五次月考
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
B
C
A
B
B
D
D
C
A
二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
2
3
（3）
3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在中，角A，B，C的对边分别为
．
(1)求角B的大小；
(2)若，求方向上的投影．
解：(1)
,
,，或……………………………6分
(2) ,,，
方向上的投影为……………………………12分
18．（12分）
在三棱锥中, △是等边三角形, ∠∠.
(1)求证: ⊥;
(2)若，，求三棱锥的体积.
解:
（Ⅰ）因为是等边三角形, ∠∠,
所以≌, 可得. …………1分
如图, 取中点, 连结,,
则,, ……………………3分
因为
所以平面, ………………………………………………………………4分
因为平面,
所以. ……………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为 ≌,
所以, . ………………………………………………………6分
由已知，在Rt中, ,
………………………………………………8分
因为, , ,
所以. ……………………………………………………………9分
因为, ，
所以的面积. ……………………10分
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
所以三棱锥的体积. ………………12分
19．（12分）
某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
质量指标值
频数
(190,195]
9
(195,200]
10
(200,205]
17
(205,210]
8
(210,215]
6
表1：甲流水线样本的频数分布表
图1：乙流水线样本频率分布直方图
（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；
（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两
条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（Ⅲ）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这
种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
附：（其中为样本容量）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为
，
………………………………………1分
则 ……………………………3分
解得． ………………………………………4分
（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 ………………………5分
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为， ………6分
于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产
的不合格品件数分别为：
． …………………………8分
（Ⅲ）列联表:
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
35
40
75
不合格品
15
10
25
合计
50
50
100
…………………………10分
则， ……………………………………………11分
因为
所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线
的选择有关”． ……………………………………………………12分
20．（12分）
已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．
（1）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；
（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵点，∴，解得，
故抛物线的方程为：，当时，，
∴的方程为，联立可得，，
又∵，，∴． ...............................5分
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，
设 ，则，，①
由得：，
整理得，②
将①代入②解得，∴直线，
∵圆心到直线的距离，∴，
显然当时，，的长为定值． ...............................12分
21．（12分）
已知函数恰有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]（10分）
在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；
（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.
解：（1）由，得，
消去得直线的普通方程为.
由，
得.将代入上式，
曲线的直角坐标方程为，即.
得曲线的直角坐标方程为（为参数，）
（2）设曲线上的点为，
由（1）知是以为圆心，半径为的圆.
因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，
或者，
故得直角坐标为或者.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数 ，记的解集为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时,证明：.
解：（Ⅰ）由已知，得 ，
当时，由，解得，，此时.
当时，由，解得，显然不成立，
故的解集为.
（Ⅱ）当时， ，
于是 ，
函数在上是增函数，
，
故.
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