衡阳市八中2018届高三第五次月考试题
理科数学
命题人 张贤华 审题人 徐五洲
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P={0，1}，M={x|xP}，则集合M的子集个数为（ ）
A.8 B.16 C.32 D.64
2.下列命题中，真命题是（ ）
A.ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件 B.∃x∈R，ex＜0
C.若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d D.∀x∈R，2x＞x2
3.若展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为（ ）
A. B． C． D.
4.已知双曲线C:-=1的焦距为10 ，点 （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）
A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 （ ）寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A.4 B.3 C. 2 D.1
6.定义某种运算，运算原理如下图所示，则的值为（ ）
A.4 B.8 C.13 D.15【来源：全,品…中&高*考+网】
【来源：全,品…中&高*考+网】
7.奥运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
A. B. C. D.
8.若函数，满足，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
9.设为等差数列，且，则数列的前13项的和为
A．63 B．109 C．117 D．210
10.如右图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点
E，F， 且EF=，则下列结论中错误的个数是（ ）
（1）AC⊥BE；
（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为；
（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值；
（4）在空间与三条直线DD1，AB，B1C1都相交的直线有无数条．
A．3 B．2 C．1 D．0
11．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12.已知点C为线段上一点，为直线外一点，PC是的平分线，为PC上一点，满足，，，则的值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数，的单调递减区间为 ____________．
14. 已知数列的前项和为，，，则 ____________．
15.已知满足，则的取值范围是____________．
16.下列说法：
（1）命题“”的否定是“”；
（2）关于的不等式恒成立，则的取值范围是；
（3）对于函数，则有当时，，使得函数 在上有三个零点；
（4）
其中正确的个数是____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知直线与直线是函数的图象的两条相邻的对称轴．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的值．
18.（本小题满分12分）如图，已知正方形和矩形所在的
平面互相垂直，，，是线段的中点。
（Ⅰ）求证//平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）试在线段上确定一点,使得与所成的角是60°.
19.（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.
（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.
（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.
（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望.
20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率，过点的直线与椭圆交于两点，且.
（Ⅰ）当直线的倾斜角为时，求三角形的面积；
（Ⅱ）当三角形的面积最大时，求椭圆的方程．
21．（本小题满分12分）已知函数有且只有一个零点，其中．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数的最大值；
（Ⅲ）设，对任意, 证明：不等式恒成立．
选做题：请考生在22、23中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（本小题满分10分）极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求弦长．
【选修4-5：不等式选讲】
23．（本小题满分10分）对于任意的实数和，不等式恒成立，记实数的最大值是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解不等式．
衡阳市八中2018届高三第五次月考
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
B
B
C
D
B
C
D
D
B
二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
3
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知直线与直线是函数
的图象的两条相邻的对称轴．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的值．
解：（Ⅰ）因为直线、是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以，函数的最小正周期T=2×=2π，从而，
因为函数f（x）关于直线对称．
所以，即．…（5分）
又因为，
所以．…（6分）
（Ⅱ）由（1），得．由题意，．…（7分）
由，得．
从而．…（8分）
，…（10分）
=．…（12分）
18.（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面
互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。
（Ⅰ）求证AM//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小；
（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.
解 (Ⅰ)记AC与BD的交点为N,连接NE, ∵N.M分别是AC.EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形ANEM是平行四边形， ∴AM∥NE。
∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDE。
（Ⅱ） 建立如图所示的空间直角坐标系。
则是N.E（0,0,1）,∴=,
∵AF⊥AB，AB⊥AD，且=A
∴AB⊥平面ADF。
∴为平面DAF的法向量。
又∵=·=0
∴ =·=0 ∴为平面BDF的法向量。
∴cos= ∴与的夹角是60º。即所求二面角A—DF—B的大小是60º。
（Ⅲ）设P(t,t,0) (0≤t≤)得 =（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º ∴
解得t=或t=（舍去），即点P是AC的中点。
19.（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.
（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.
（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.
（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望
故的分布列为
0
1
2
3
4
P
故 …12分
20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率，过点的直线与椭圆交于两点，且.
（Ⅰ）当直线的倾斜角为时，求三角形的面积；
（Ⅱ）当三角形的面积最大时，求椭圆的方程．
解: 由得，所以．-------------------2分
设，则由， ，得---------3分
由知直线斜率存在设为,得直线的方程，代入得，由知，且解得，-------------------6分
-------------------8分
（1）代入得-------------------10分
（2）（时）
时三角形的面积最大，把代入得．
于是椭圆的方程为．-------------------12分
21．（本小题满分12分）已知函数有且只有一个零点，其中．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数的最大值；
（Ⅲ）设，对任意, 证明：不等式恒成立．
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．
由f'（x）=0，得x=1﹣a＞﹣a．
∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，
∴f（x）在x=1﹣a处取得最大值．
由题意知f（1﹣a）=﹣1+a=0，解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）﹣x，
当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．
当k＜0时，设g（x）=f（x）﹣kx2=ln（x+1）﹣x﹣kx2．
则
令g/（x）=0，得x1=0，．
①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，
即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．
②若，即时，对于，g'（x）＜0，
∴g（x）在上单调递减．
于是，当取时，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．
故不合题意．
综上，k的最大值为．
（Ⅲ） 由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．
不妨设x1＞x2＞﹣1，则要证明，
只需证明，
即证，
即证．
设，则只需证明，
化简得．
设，则，
∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（t）＞φ（1）=0．
即，得证．
故原不等式恒成立．
选做题：请考生在22、23中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（本小题满分10分）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．
（I）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．
解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．
（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．
解得t1=8，t2=． ∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==．
【选修4-5：不等式选讲】
23．（本小题满分10分）对于任意的实数和，不等式恒成立，记实数的最大值是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解不等式．
解：（Ⅰ）不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立，
即M≤对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，
故只要左边恒小于或等于右边的最小值．
因为|a+b|+|a﹣b|≥|（a+b）+（a﹣b）|=2|a|，
当且仅当（a﹣b）（a+b）≥0时等号成立，
即|a|≥|b|时，≥2成立，
也就是的最小值是2，
故M的最大值为2，即 m=2．
（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．
由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解集为：{x|≤x≤}．
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