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黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数 学 试 题（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、 选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合M={-4,-2,0,2,4,6},N={x|x2-x-12≤0},则M∩N= ( )
A.[-3,4] B.{-2,0,2,4} C.{0,1,2} D.{1,2,3}
2.设z= ,则z2+z+1= ( )
A.-i B.i C.-1-i D.-1+i
3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是( )
A. B.2 C. D.3
4.锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b＞a,已知a=4,c=5,sinA= , 则b= ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
5.若实数数列:-1,a,b,m,7成等差数列,则圆锥曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.将函数y=2sin(2x–)的图像向右平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为( )
A.y=2sin(2x- ) B.y=2sin（2x–) C.y=2sin(2x+ ) D. y=2sin(2x- )
7.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
8.执行右面的程序框图，如果输入的x∈[-1，4]，则输出的y属于 ( )
A.[-3,4]
B.[-3,6]
C.[-4,5]
D.[-3,5]
9.若a＞b＞1,-1＜c＜0, 则( )
A.abc＜bac B.ac＞bc C.＜ D.b＞a
10.函数y=-2x2+2|x|在[–2,2]的图像大致为 ( )
11.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,其准线与双曲线-x2=1相交于M,N两点,若△MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p= ( )
A.2 B. C.3 D.6
12.若函数f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减，则m的取值范围是( )
A.[-,] B.[- ,] C.[-, ] D.[-,]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
（本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23 题为选考题，考生根据要求作答）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题中的横线上）
13.设=(2m+1,m),=(1,m),且⊥,则m=_______.
14.已知α是第三象限角，且tan(α+ )= -2，则sin(α–)= .
15.已知圆C1:x2＋y2-2ax＋a2－9＝0 和圆C2:x2＋y2+2by－4＋b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，令t=a+b，则t的取值范围是_________.
16.设x,y满足,且m= ,则实数m的取值范围是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本题满分10分) 已知集合A＝{ x |≤1}，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若BA，求实数a的取值范围．
18.(本题满分12分)在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为,b –a=1，cos C＝－.
(1)求c和sin A的值；
(2)求cos的值.
19.(本题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1=-2,等比数列{bn}的公比为q,且a2=b1,a3=b2+1,
a1b2+5b2=b3.
(1)求数列{an}和{bn}通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项的和Sn.
20.(本题满分12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示,已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为.
(1)求a的值;
(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．
21.(本题满分12分)如图,椭圆C1:(a＞b＞0)的离心率为,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于b.C2与y轴的交点为M，过点P(0,1)作直线l与C2相交于点A，B,直线MA，MB分别与C1相交于D、E.
(1)求证:⊥;
(2)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ＞0),求λ的取值范围.
22.(本题满分12分)已知函数f(x)=x2+(2a-2)x-4alnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a=1,若存在x1,x2∈(2,+∞),且x1≠x2,使不等式|f(x1)-f(x2)|≤k|lnx1-lnx2|成立,求实数k的取值范围.
黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数 学 试 题（文科）参考答案
一、选择题
BACDCB DCDAAB
4.D 【解析】本题考查余弦定理的应用.由题设sinA=,又△ABC为锐角三角形，∴cosA= .
∴由余弦定理得 42=b2+52-2×5×b×,即2b2-15b+18=0,解得b=6或b=＜4(舍),故选D
5.C 【解析】本题考查双曲线的几何性质及等差数列的通项公式.由数列：-1,a,b,m,7成等差数列得,
7=-1+(5-1)d,∴d=2,从而,a=1,b=3,∴c2=12+32=10,∴c=, e== ,故选C
6.B 【解析】本题考查三角函数图像的平移，函数y=2sin(2x–)的最小正周期为π,则个周期为,即将函数y=2sin(2x–)的图像向右平移，所得函数为y=2sin[(2(x-)- )]=2sin（2x–)，
故选B.
7.D 【解析】本题考查三视图及简单几何体的体积计算.
原立体图如右图所示，是一个长方体挖去半个圆锥,
因此,所求的几何体的体积为
V=2×1×2- ××π×12×2=4- = .故选D.
9.D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质.由-1＜c＜0得0＜|c|＜1,又a＞b＞1,
∴＜＜0, -＞-＞0, a＞b＞1＞0,∴-a＞-b,
即b＞a.故选D.
10.A 【解析】本题考查函数图象及其性质.由y=-2x2+2|x|知函数为偶函数,即其图象关于y轴对称,故可排除B,D.又当x=2时,y=-2·(-2)2+22=-4.所以,C是错误的，故选择A.
11.A 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线y2=2px的准线为x=- ,代入双曲线方程-x2=1解得 y=±,由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形,∴∠FMN=,
∴tan∠FMN= =1,∴p2=3+,即p=2,故选A.
12.B【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用.由f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减知,f′(x)= - + sin2x+m(cosx+sinx)≤0在(-∞,+∞)上恒成立,令t=sinx+cosx,
t∈[-,].则sin2x=t2-1,即t2+mt-1≤0对t∈[-,]恒成立,构造函数g(t)= t2+mt-1,则g(t)图象开口向上，从而函数g(x)在区间[-,]上的最大值只能为端点值,故只需
∴-≤m≤,故选B.
二、填空题
13.32 14.- 15.-5≤t≤5 16.≤m≤5
14. - 【解析】本题考查三角变换公式的应用.由tan(α+ )= -2，得=-2,解得tanα=3,
∴sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,解得sinα= - ,cosα=- .
∴sin(α–)=sinαcos-cosαsin=- .
15. -5≤t≤5 解析: 由x2＋y2-2ax＋a2－9＝0,得(x-a)2＋y2＝9，由x2＋y2+2by－4＋b2＝0，得x2＋(y+b)2＝4.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，
则＝3＋2＝5，即a2＋b2＝25，∴点(a,b)满足圆a2＋b2＝25的方程，于是t=a+b可以看作直线l:a+b-t=0,则直线l与圆a2＋b2＝25有交点，即有≤5,从而得-5≤t≤5.
16. ≤m≤5
【解析】∵m= = =1+2×,如图满足的可行域
为图中的阴影部分, 表示可行域内的点与点P(-1,-1)连线的斜率,又A(2,0),
B(1,3), C(0,1),kPA= ,kPC= 2,故≤m≤5.
三、解答题
17. 解析：由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x| x≤－2或x≥3} .………3分
由log3(x＋a)≥1，得x+a≥3故B＝{x|x≥3－a}．………………5分
由BA，得3－a≤－2或3－a≥3，…………………8分
解得a≥5或a≤0.………………………………………………………10分
18.解 (1)在△ABC中，由cos C＝－，可得sin C＝.……………………(1分)
由S△ABC＝absin C＝，
得ab＝6，又由b -a ＝1，解得a＝2，b＝3. ……………………(4分)
由c2＝a2＋b2－2abcos C，可得c＝4.
由＝，得sin A＝.……………………(6分)
(2)cos＝cos 2C·cos －sin 2C·sin……………………(9分)
＝(2cos2C－1)－×2sin C·cos C＝.……………………(12分)
19. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则由题设可得,…………(2分)
解得.…………………………………(4分)
∴an=3n-5,bn=3n-1.……………………………(6分)
(2)由(1)知a nbn=(3n-5)·3n-1,∴数列{a nbn}的前n项和为Sn=-2·30+1·3+4·32+…+(3n-5)·3n-1①
3Sn=-2·3+1·32+4·33+…+(3n-8)·3n-1 +(3n-5)·3n ② ……(8分)
①-②得-2Sn=-2+3·3+3·32+…+3·3n-1-(3n-5)·3n=-2+ -(3n-5)·3n…………(10分)
∴Sn= .……………………………………………………(12分)
20. 解: (1) 由直方图可知,乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30+a,故频率为,
由意可得=,解得a=60.……………………………………(3分)
(2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.………………………………………(7分)
(3)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210
个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为.………………………………(12分)
21. 解:(1)由题设得b=2,(b＞0),∴b=2,又e= =,∴c2=a2=a2-4,解得a2=9.
因此椭圆C1和方程为+ =1.由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).………(2分)
设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.
由消去y得x2+kx-1=0,∴,①………………………(3分)
∴ ·=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,
∴将①代入上式得·=-1-k2+k2+1=0, 故 ⊥.……………………(5分)
(2)由(1)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由解得或,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),………(7分)
∴S1=|MA|·|MB|= ·|k1||k2|.………………………………(8分)
由解得或,∴D(,),
同理可得E(,),………………………………………………………(9分)
∴S2=|MD|·|ME|= ··,………………………(10分)
∴λ2= = (4+9k12)(4+9k22)= (16+81k12k22+36k12+36k22)
= (97+ 36k12+ )≥,又λ＞0,∴λ≥
故λ的取值范围是[,+∞)………………………………………………………(12分)
22.解:(1)∵f′(x)=x+(2a-2)- = = (x＞0).令f′(x)=0得x=2或x=-2a.
∴①当-2a=2,即a=-1时, f′(x)≥0在x＞0时恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.……(2分)
②当-2a＞2,即a＜-1时,f(x)在(0,2)和(-2a,+∞)上单调递增,在(2,-2a
)上单调递减.………(3分)
③当0＜-2a＜2,即-1＜a＜0时,f(x)在(0,-2a)和(2,+∞)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减.……(4分)
④当-2a≤0,即a≥0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. ………(5分)
(2)由(1)知,当a=1时,f(x)在(2,+∞)上单调递增,不妨设x2＞x1＞2,
则不等式|f(x1)-f(x2)|≤k|lnx1-lnx2|可化为f(x2)-f(x1)≤klnx2-klnx1.……………(7分)
f(x1)-klnx1≥f(x2)-klnx2,令g(x)=f(x)-klnx,则g(x)在(2,+∞)上存在单调递减区间. ………(9分)
∴g′(x)= f′(x) - ＜0 在区间(2,+∞)有解,即- ＜0在x∈(2,+∞)上有解,…(10分)
∴k＞x2-4, x∈(2,+∞),故k＞0. ……………(12分)
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