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江苏省海安高级中学2018届阶段检测（三）
数 学
Ⅰ卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）
1．已知集合，，若，则实数的值为 ▲ .
2．复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限.
3．根据如图所示的伪代码，当输入的值为时，输出的值为 ▲ .
Read a
S0
I1
While I≤3
SS＋a
aa×2
II＋1
End While
Print S
第3题
第4题
4．从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 ▲ .
第5题
5．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的
黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一
点，则此点取自黑色部分的概率是 ▲ .
6．若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是 ▲ .
7．已知函数与（），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则的值是 ▲ .
8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ .
9．已知向量，，则与的夹角的大小为 ▲ .
10．已知一个圆锥母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 ▲ .
11．已知等比数列的前项和为，若，则 ▲ .
12．已知上的动点，则的最小值为 ▲ .
13．若是与的等比中项，则的最大值为 ▲ .
14．在中，角的对边依次为，若为锐角三角形，且满足则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，∥，．
（1）若，求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
第15题
16．（本小题满分14分）
已知函数.
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设的角的对边分别为，且，，若，求边，的值.
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
D
Q
B
P
x
A
O
y
（2）设P为椭圆上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆C的另一个交点为B，若PA⊥PB，求实数λ的值.
第17题
18．（本小题满分16分）
一块圆柱形木料的底面半径为12cm，高为32cm，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm，高为h cm，要求笔筒底面的厚度超过2cm．
（1）求与的关系，并指出的取值范围；
（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a（元/ cm2），桶内侧面喷漆费用为2a
（元/cm2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a（元/ cm2）（其中a为正常数）．
①将笔筒的后续加工费用（元）表示为的函数；
②求出当取何值时，能使笔筒的后续加工费用最小，并求出的最小值．
19．（本小题满分16分）
已知数列中，首项，，对任意正整数都成立，数列 的前项和为．
（1）若，且，求实数的值；
（2）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求（用，表示）．
20．（本小题满分16分）
已知函数（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在两条直线，（）都是曲线的切线，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围.
Ⅱ卷（附加题）
21．B【矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵，若，求矩阵的特征值．
C【坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．
①写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
②若点坐标为（1，1），圆与直线交于，两点，求的值．
y
x
C
O
l
22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线： （）．
（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求的取值范围．
[来源:Zxxk.Com]
23．（本小题满分10分）已知（，为常数）．
（1）求；
（2）我们知道二项式的展开式
，若等式两边对求导得，令得．利用此方法解答下列问题：
①求；
②求．
答案：
1.2
2.四
3.28
4.3
5.
6.a＞2
7.
8.
9.
10.
11.448
12.
13.
14.
15.【解析】
（Ⅰ）证明：取的中点，连接、，
因为为对角线与的交点，则为中点，
所以∥，且．
又因为∥，且，
所以∥，，则四边形为平行四边形，----------3分
所以∥．
又因为平面，平面，∥，
所以∥平面；-------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）证明：因为四边形为菱形，所以，--------------------------7分
又因为，是的中点，所以，------------------8分
又有平面，平面,
所以平面，----------------------------------------------12分
又因为平面，
所以平面平面．----------------------------------------14分
16.【解析】（Ⅰ）因为
-------------------------------------------------------------------4分
当且仅当时，--------------------------------------6分
最小正周期分别为和.------------------------------------------------7分
（Ⅱ）因为，即，因为，所以
，于是，即.------------------------------10分
因为，由正弦定理得，-------------------------------------12分
由余弦定理得，即，
联立，解得.-------------------------------------------14分
17.解:(1)因为点在椭圆C上，则，------------------------------1分
又椭圆C的离心率为，可得，即，
所以 ，代入上式，可得，
解得，故.
所以椭圆C的方程为 5分
(2)设P(x0，y0)，则A(-x0，-y0)，Q(x0，-y0).
因为=λ,则(0，yD-y0)=λ(0，-2y0)，故yD=(1-2λ)y0.
所以点D的坐标为(x0，(1-2λ)y0). 7分
设B(x1，y1)，
9分[来源:学科网ZXXK]
又
故.----------------------------------------------------------------------11分
又PA⊥PB，且，
所以，即，解得.
所以 14分
18.【解析】（Ⅰ）据题意，，所以，----------------------3分
因为，所以
即，解得，----------------------------------------------------------5分
又，所以；----------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用，
整理得
，定义域为；----------------------11分
②由①知，，令得，
[来源:学科网ZXXK]
[来源:Z&xx&k.Com]
递减
极小值
递增
由表知，当时，取极小值即最小值.------------------------15分
答：当时，能使笔筒的后续加工费用最小，最小值为元．----16分
19.【解析】（Ⅰ）当时，由得，
即，所以数列 为等差数列，--------------------1分
公差为，数列的前项和为
，由得，
解得；---------------------------------------------------------3分
（Ⅱ）设数列为等比数列，则其公比为，，，．
若为等差中项，则即，解得，与已知不符，舍去；
若为等差中项，则即，即，解得
或（舍），此时由得即，故；
若为等差中项，则即，即，解得或（舍），仿得．---------------------------------------------------8分
综上，满足要求的实数有且仅有一个，；---------------------------------9分
（Ⅲ）当时，，所以，
于是．----------------------------------------11分
当为偶数时，；
---------------------------------------------------------------------------------13分
当为奇数时，
（），当时，也适合该式，
所以．-----------------------------------------------16分
20.【解析】（Ⅰ）（）.
当时，，的递减区间为；----------------------------1分
当时，由得，列表得：
递减
极小值
递增
所以，函数的递减区间为，递增区间为；-----------------------4分
（Ⅱ）因为存在两条直线、（）都是曲线的切线，
所以至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分
令，得，记其两个根为、（），
则，解得，------------------------------------------------------------------------------------7分
而当时，曲线在点、处的切线分别为、，设（），由
知，当时，即在区间上是单调函数，因此，所以、不重合，即、（）是曲线的两条不同的切线，故；----------------10分
（Ⅲ）当时，函数是内的减函数，因为，而
，不符合题意；----------------------------------------------------------12分
当时，由（Ⅰ）知的最小值为.
若即时，，所以符合题意；
若即时，，所以符合题意；
若即时，，而，函数在内递增，所以当
时，，又因为的定义域为，所以，符合题意.
综上，实数的取值范围为.----------------------------------------------16分
【解析】因为，所以，解得，
所以，--------------------------------------------------------------------------------5分
其特征多项式为，
令，解得特征值为，．----------------------------10分
【解析】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）．
消去参数可得直线的普通方程为；---------------------------------------2分
圆的方程为，即，
可得圆的直角坐标方程为．------------------------------------------4分
（Ⅱ）将代入得，
设、两点对应的参数分别为、，
则，，所以．------10分
另解：由得，则，---------------------------------------6分
不妨取，则，---------------------------------------------------------------8分
，
，
所以
--------------------------------------------------10分
【解析】（Ⅰ）抛物线： （）的焦点为，
由点在直线：上得，即，
所以抛物线的方程为；-------------------------------------------------2分
（Ⅱ）设、，线段的中点．
因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，
于是的方程可设为．
①证明：由得……（﹡），
因为和是抛物线上相异两点，所以，
从而，化简得，方程（﹡）的两根为
，从而．
因为在直线上，所以，
因此，线段的中点坐标为；--------------------------6分
②因为在直线上，
所以，即．
由①知，于是，所以，
即的取值范围为．-------------------------------------------10分
【解析】（Ⅰ）对于，
取得；-------------------------------------------------------------2分[来源:学科网]
（Ⅱ）①对两边求导得
，
取得；--------------------------------6分
②将两边乘以得
，两边求导得
，
取得．-----------------------10分
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