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2017-2018学年度上学期期末考试
高一年级数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3.函数满足条件，则的值（ ）
A． B． C． D．与值有关
4.正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）
A． B． C. D．
5.直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C.相离 D．位置关系不确定
6.下列命题中真命题的个数为（ ）
①平行于同一平面的两直线平形；②平行于同一平面的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直；
A．个 B．个 C. 个 D．个
7.一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ），容器中的沙子只有开始时的八分之一.
A． B． C. D．
8.如图，网格纸上的小正方形边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
9.已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A． B． C. D．
10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
11.已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有（ ）
A．个 B．个 C. 个 D．个
12.已知正方形的边长为，若将正方形沿对角线折叠为三棱锥，则在折叠过程中，不能出现（ ）
A． B．平面平面 C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若直线与直线平行，则实数 ．
14.已知幂函数的图象关于原点对称且与轴、轴均无交点，则整数的值为 ．
15.已知圆和两点，若圆上存在点
，使得，则实数的取值范围为 ．
16.已知函数，若，且，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知三个集合
.
（1）求；
（2）已知∅，∅，求实数的取值范围.
18. 如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的棱形，为的中点.
（1）求证：；
（2）求.
19. 设函数（且）是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，不等式对恒成立，求实数的最小值.
20. 已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线
的斜率；
（3）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.
21. 在四棱锥中，底面为棱形，交于.
（1）求证：平面平面；
（2）延长至，使，连结.试在棱上确定一点，使平面，并求此时的值.
22. 设函数（且），当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点.
（1）写出函数的解析式；
（2）把的图象向左平移个单位得到的图象，函数，是否存在实数，使函数的定义域为，值域为.如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由；
（3）若当时，恒有，试确定的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BACAB 6-10:CBCDC 11、12：DD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）.
（2）∅，∅，
即解得.
所以实数的取值范围是.
18.解：（1）取中点连接，
依题意可知均为正三角形，
又平面平面
平面
又平面
（2）由（1）可知，又平面平面
平面平面平面
平面
即为三棱锥的高
又是边长为的正三角形，
由
又
又为的中点
.
19.解：（1）是定义在上的奇函数，
对于任意的实数恒成立，
即对于任意的实数恒成立，
.
（2）由（1）知，因为，所以，
解得或（舍去），故
任取且，则
由指数函数的单调性知，
故函数是上的减函数
，由函数为奇函数且单调递减，知，
即在上恒成立
则，即实数的最小值是.
20.解：（1）设点坐标为
由，得：
整理得：曲线的轨迹方程为
（2）依题意
（3）由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，设，
其方程为，即：
又在曲线上，
即，由得，
直线过定点.
21.解：（1）
，得，
为中点，，
底面为菱形，平面，
平面平面平面.
（2）连接交于，在中，过作交于，连接和，
平面平面平面
，
，即.
22.（1）解：设点的坐标为，
则，即.
点在函数图象上，
，即
（2），
，故
在上单调递增，，即为的两相异的非负的实数
即，解得
（3）函数
由题意，则，
又，且
，
又对称轴为
，则在上为增函数，
函数在上为减函数，
从而
又，则
.
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