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广东省五校协作体2018届高三第一次联考试卷（1月）
数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．C． D．
2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3.已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则（）
A．45°B．30° C．15° D．60°
4.4．在区间上任选两个数和，则的概率为（）
A． B．C. D．
5．已知，函数的图象关于直线对称，则的值可以是（）
A． B．C. D．
6.一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）
A． B．C. D．
7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值为（ ）
A． B． C. D．
8.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）
A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．1 条或 2 条
9.已知实数满足，则的最小值是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
10.已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
11.关于曲线给出下列四个命题：
（1）曲线有两条对称轴，一个对称中心
（2）曲线上的点到原点距离的最小值为1
（3）曲线的长度满足
（4）曲线所围成图形的面积满足
上述命题正确的个数是（）
A．1B.2 C.3 D. 4
定义在上的函数满足，当时，，函数．若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是．
14.已知，，，则在方向上的投影为．
15.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为．
16．已知数列满足：为正整数，，如果，．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，为的中点，求的长．
18.如图，在四棱锥中，是正三角形，是等腰三角形，，．
（1）求证：；
（2）若，，平面平面，直线与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值．
19. 据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到 0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为，求的分布列和数学期望．
参考数据：，（说明：以上数据为3月至7月的数据）
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
20.已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值．
（1） 求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值．
21. 已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间上的最大值为，求的值；
（3）设，若，对于任意的两个正实数，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．
（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）设点，直线与圆相交于两点，求的值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．
【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，
∴（CUA）∩B={4，6}．故选B
2．【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵（i﹣1）z=i，
∴，
∴z的虚部是﹣．故选：D．
3.【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．
【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），
∵K（﹣，0），
∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故选A．
4．【考点】几何概型．
【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．
【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，
满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，
∴所求概率为．故选C．
5．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．
【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．
【解答】解： =2sin（x+），
函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，
∴φ=故选D．
6．【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，
则10﹣r+10﹣r=10cm，
∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．
7．【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环
循环前 20/
第一圈20 8|8﹣20|=12＞2 是
第二圈 8 2|2﹣8|=6＞2 是
第三圈 2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是
第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否
故输出y的值为﹣．
故选：D．
8．【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】利用已知条件，通过直线与平面平行的性质、判定定理，证明CD∥平面EFGH，AB∥平面EFGH，得到结果．
【解答】解：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GF，
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，
故选C．
9.【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，4），
z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．
由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
10．【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．
【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，
因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），
∴=1，解之得y0=，得|AF|=，
∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，
将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0
两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，
∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．
故选：B．
11．【解答】D
12．【考点】抽象函数及其应用．
【分析】对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f（s）min≥g（t）min．利用分段函数的性质可得f（s）min，利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g（t）min．
【解答】解：对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，
等价于：f（s）min≥g（t）min．
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，
令x∈[﹣4，﹣2），则（x+4）∈[0，2]，f（x+4）=，
﹣4≤x＜﹣3时，f（x）=﹣2x﹣＞﹣2×（﹣3）﹣=﹣．
﹣3≤x＜﹣2时，f（x）=﹣≥﹣2．
可得f（x）min=﹣8．
函数g（x）=x3+3x2+m，x∈[﹣4，﹣2），
g′（x）=3x2+6x=3x（x+2）＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣4，﹣2）单调递增，
∴g（x）min=g（﹣4）=﹣64+48+m=m﹣16，
由题意可得：﹣8≥m﹣16，解得m≤14．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，14]
故选：C．
二、填空题
13.【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，
再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．
【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，
∴展开式中第5项是中间项，共有9项，
∴n=8；
展开式的通项公式为
Tr+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，
令8﹣2r=2，得r=3，
∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．
14．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得•，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．
【解答】解： =（，），||=1，|+2|=2，
可得||=1，|+2|2=4，
即为2+4•+42=4，
即有1+4•+4=4，
•=﹣，
可得在方向上的投影为=﹣．
故答案为：﹣．
15．【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】利用对立事件概率计算公式能求出结果．
【解答】解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为：
P=1﹣=．
故答案为：
16．答案：4709
三、解答题
17．解(1)因为asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)·sin C，
由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c，
整理得a2＝b2＋c2－2bc，
由余弦定理得cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝＝＝，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－＝－，
由正弦定理得b＝＝＝2，
所以CD＝AC＝1，
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝()2＋12－2×1××＝13，
所以BD＝.
18．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．
【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，
∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，
在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．
（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，
EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，
又∵CO⊥BD，AO⊥BD，
∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，
∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，
A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），
=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），
设平面ABE的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，，1），
设平面ADE的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣，1），
设二面角B﹣AE﹣D为θ，
则cosθ===．
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．
19．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．
【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意
月份x
3
4
5
6
7
均价y
0.95
0.98
1.11
1.12
1.20
=5， =1.072，
=10，
∴==0.064，
=﹣=0.752，
∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，
x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；
（Ⅱ）X的取值为1，2，3，
P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，
X的分布列为
X
1
2
3
P
E（X）=1×+2×+3×=．
20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值
【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），
∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，
又椭圆E的离心率为，得a=，
于是有b2=a2﹣c2=1．
故椭圆Γ的标准方程为：．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0
，
，
=
=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．
要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）
当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，
点O到直线AB的距离d=，
△OAB面积s==．
∴当t=0，△OAB面积的最大值为，
21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．
（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．
（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造函数，利用导数即可证明
【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，
令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）max=f（1）=﹣1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，
（2）∵．
①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，
∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，
②若，则由，即
由，即，
从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数
∴
令，则，
∴a=﹣e2，
（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0
∴，
∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1
令，
∴，
∵，
∴
而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0
故h（x2）＞0，
即
22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．
【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．
又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，
得，设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=2，t1t2=1，
∴t1＞0，t2＞0，所以+ =
23．【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．
（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，
x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；
﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，
x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，
故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），
从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），
进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．
根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．
广东省五校协作体2018届高三第一次联考
数学参考答案及评分细则
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．
【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，
∴（CUA）∩B={4，6}．
故选B
2．已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵（i﹣1）z=i，
∴，
∴z的虚部是﹣．
故选：D．
3.已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（ ）
A．45° B．30° C．15° D．60°
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．
【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），
∵K（﹣，0），
∴kKM=1，
∴∠MKF=45°，
故选A．
4．在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．
【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，
满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，
∴所求概率为．
故选C．
5．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．
【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．
【解答】解： =2sin（x+），
函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，
∴φ=
故选D．
6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，
则10﹣r+10﹣r=10cm，
∴r=10﹣5≈3cm．
故选：A．
7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环
循环前 20/
第一圈 20 8|8﹣20|=12＞2 是
第二圈 8 2|2﹣8|=6＞2 是
第三圈 2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是
第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否
故输出y的值为﹣．
故选：D．
8、．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】利用已知条件，通过直线与平面平行的性质、判定定理，证明CD∥平面EFGH，AB∥平面EFGH，得到结果．
【解答】解：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GF，
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，
故选C．
9.已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，4），
z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．
由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．
【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，
因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），
∴=1，解之得y0=，得|AF|=，
∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，
将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0
两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，
∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．
故选：B．
11．关于曲线C：给出下列四个命题：
（1）曲线C有两条对称轴，一个对称中心
（2）曲线C上的点到原点距离的最小值为1
（3）曲线C的长度满足
（4）曲线C所围成图形的面积S满足
上述命题正确的个数是
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
【解答】D
12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，函数g（x）=x3+3x2+m．若对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，14] C．（﹣∞，﹣8] D．（﹣∞，]
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f（s）min≥g（t）min．利用分段函数的性质可得f（s）min，利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g（t）min．
【解答】解：对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，
等价于：f（s）min≥g（t）min．
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，
令x∈[﹣4，﹣2），则（x+4）∈[0，2]，f（x+4）=，
﹣4≤x＜﹣3时，f（x）=﹣2x﹣＞﹣2×（﹣3）﹣=﹣．
﹣3≤x＜﹣2时，f（x）=﹣≥﹣2．
可得f（x）min=﹣8．
函数g（x）=x3+3x2+m，x∈[﹣4，﹣2），
g′（x）=3x2+6x=3x（x+2）＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣4，﹣2）单调递增，
∴g（x）min=g（﹣4）=﹣64+48+m=m﹣16，
由题意可得：﹣8≥m﹣16，解得m≤14．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，14]
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，
再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．
【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，
∴展开式中第5项是中间项，共有9项，
∴n=8；
展开式的通项公式为
Tr+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，
令8﹣2r=2，得r=3，
∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．
14．已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为 ﹣ ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得•，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．
【解答】解： =（，），||=1，|+2|=2，
可得||=1，|+2|2=4，
即为2+4•+42=4，
即有1+4•+4=4，
•=﹣，
可得在方向上的投影为=﹣．
故答案为：﹣．
15．两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】利用对立事件概率计算公式能求出结果．
【解答】解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为：
P=1﹣=．
故答案为：
16．已知数列满足：为正整数，，如果=1，则
= ．
答案：4709
三、解答题
17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，cos B＝，D为AC的中点，求BD的长．
[解] (1)因为asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)·sin C，
由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c，………（1分）
整理得a2＝b2＋c2－2bc，……………(2分)
由余弦定理得cos A＝＝＝，……………（4分）
因为A∈(0，π)，所以A＝. ……………（5分）
(2)由cos B＝，得sin B＝＝＝，……………（6分）
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－＝－，……8分
由正弦定理得b＝＝＝2，………（9分）
所以CD＝AC＝1，………（10分）
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝()2＋12－2×1××＝13，…（11分）
所以BD＝. ………（12分）
18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若AB=2，AE=3，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．
【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，
∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，………（2分）
又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，………（4分）
在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．………（5分）
（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，
EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，………（6分）
又∵CO⊥BD，AO⊥BD，
∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，………（7分）
∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，………（8分）
A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），
=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），………（9分）
设平面ABE的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，，1），………（10分）
设平面ADE的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣，1），………（11分）
设二面角B﹣AE﹣D为θ，
则cosθ===．
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．………（12分）
19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
=25， =5.36， =0.64（说明以上数据为3月至7月的数据）
回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=， =﹣．
【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．
【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意
月份x
3
4
5
6
7
均价y
0.95
0.98
1.11
1.12
1.20
=5， =1.072，………（1分）
=10，………（2分）
∴==0.064，………（3分）
=﹣=0.752，………（4分）
∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，………（5分）
x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；………（6分）
（Ⅱ）X的取值为1，2，3，………（7分）
P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，………（10分）
X的分布列为
X
1
2
3
P
………（11分）
E（X）=1×+2×+3×=．………（12分）
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值
【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），
∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，………（1分）
又椭圆E的离心率为，得a=，………（2分）
于是有b2=a2﹣c2=1．
故椭圆Γ的标准方程为：．………（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0………（4分）
，………（5分）
，
=
=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．………（7分）
要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）………（8分）
当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，………（9分）
点O到直线AB的距离d=，………（10分）
△OAB面积s==．………（11分）
∴当t=0，△OAB面积的最大值为，………（12分）
21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；
（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．
（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．
（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造函数，利用导数即可证明
【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，………（1分）
令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．………（2分）
f（x）max=f（1）=﹣1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，………（3分）
（2）∵．………（4分）
①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，
∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，………（5分）
②若，则由，即
由，即，
从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数………（6分）
∴
令，则，
∴a=﹣e2，………（7分）
（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0
∴，………（8分）
∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1
令，………（9分）
∴，
∵，
∴………（10分）
而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0
故h（x2）＞0，
即………（12分）
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（3，4），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方
程依据互化公式转化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．
【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．（2分）
又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；………（5分）
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，
得，设t1，t2是上述方程的两实数根，………（7分）
所以t1+t2=2，t1t2=1，………（8分）
∴t1＞0，t2＞0，所以+=. ………（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．
（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，………（1分）
x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；………（2分）
﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，………（3分）
x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，………（4分）
故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；………（5分）
（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，………（7分）
故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），………（8分）
从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），
进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．………（9分）
根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．………（10分）
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