www.ks5u.com
炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与平面满足，，，，则下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在矩形中，，，若向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数对任意自变量都有，且函数在上单调．若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2017项之和为（ ）
A．0 B．2017 C．2016 D．4034
9．已知的面积为1，内切圆半径也为1，若的三边长分别为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．设、是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数，给出下面4个命题：①对任意，都有；②对任意，都有；③对任意，都有，；④对任意，都有．其中所有真命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．设是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 ．
14．过点作圆的两条切线，切点分别为，则所在直线的方程为 ．
15．在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为 ．
16．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．
（个）
2
3
4
5
6
（百万元）
2.5
3
4
4.5
6
（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？
参考公式：
，，．
18．如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面平面；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．
19．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中，角、、所对的边分别为、、，，是的中点，且，，求的最短边的边长．
20．已知为坐标原点，抛物线上在第一象限内的点到焦点的距离为，曲线在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）设不经过点和的动直线交曲线于点和，交于点，若直线，，的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由．
21．已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）证明当时，；
（Ⅲ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
请考生在（22）～（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号。
22．选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线，（为参数），曲线．
（Ⅰ）求曲线和直线的普通方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使点到直线的距离为，求出点的坐标．
23．选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，，求证：．
试卷答案
一、选择题
1-5:BDDDB 6-10:DABDA 11、12：CD
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．【解析】∵，，，
∴．
∴关于的线性回归方程．
（Ⅱ），
区平均每个分店的年利润，
∴时，取得最大值，
故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．
18．【解析】（Ⅰ）∵、分别为侧棱、的中点，∴．
∵，∴．
∵平面平面，且，平面平面，
∴平面，且平面，得．
又∵，，∴平面，可得平面．
又平面，得平面平面．
（Ⅱ）存在点，使得直线与平面垂直．
平面中，过点作，垂足为．
由已知，，，．
根据平面几何知识，可得．
又∵由（Ⅰ）平面，得，且，
∴平面，又平面，得．
又∵，∴平面．
在中，，，，
∴，，∴．
∴上存在点，使得直线与平面垂直，此时线段的长为．
19．【解析】由图知，解得，
∵，
∴，，即，，
由于，因此
∴，
∴，
即函数的解析式为．
（2）由正弦定理可知：，
则，，，，
则，∴，
由，可得
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴解得：，．
又，∴，
∴的最短边的边长为．
20．【解析】（Ⅰ）由抛物线上的点到焦点的距离为，得，所以，则抛物线方程为，故曲线在点处的切线斜率，切线方程为，令得，所以点．
（Ⅱ）由题意知，因为与相交，所以．
设，令，得，故，
设，，
由消去得，则，，直线的斜率为，同理直线的斜率为，直线的斜率为．因为直线，，的斜率依次成等差数列，
所以，即，即整理得：，
因为不经过点，所以，所以．
故，即恒过定点．
21．【解析】（Ⅰ）因为，所以
此时，，
由，得，又，所以，所以的单调减区间为．
（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得：在递减，∴，
故，时，，分别令，
故，
∴时，．
（Ⅲ）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立．
令，只要．
因为，令，得．
设，在上单调递减，不妨设的根为．当时，；当时，，
所以在上是增函数；在上是减函数．
所以．
因为，，
所以，此时，即．
所以整数的最小值为2．
22．【解析】（Ⅰ）的普通方程；的普通方程为．
（Ⅱ）设点，则点到曲线的距离为
，
当时，，即，此时，或，
所以点的坐标为或．
23．【解析】（Ⅰ）由，
得或或，
解得，∴，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
∴，
当且仅当即，时取等号，
∴，即．
微信/支付宝扫码支付