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炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．-1
2．若集合，非空集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若，命题甲：“为实数，且”；命题乙：“为实数，满足，且”，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
4．表示求除以的余数，若输入，，则输出的结果为（ ）
A．0 B．17 C．21 D．34
5．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，，，，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列选项中为函数的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
8．九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则_____天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到0.1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）
A．2.8 B．2.6 C．2.4 D．2.2
9．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为．若直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，实数满足约束条件，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）
A．16 B．24 C．8 D．12
12．定义在上的偶函数满足，且当时，，
若函数有7个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若二次函数有两个零点、，则，类比此，若三次函数有三个零点、、，则 ．
14．若的展示式中的系数为4，则 ．
15．如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为 ．
16．已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数（Air Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：
大于300
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重
空气质量
污染
重度污染
天数
10
15
20
30
7
6
12
（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：
（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当在区间时企业正常生产；当在区间时对企业限产（即关闭的产能），当在区间时对企业限产，当在300以上时对企业限产，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：
①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率；
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．
18．已知锐角的三个内角、、满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．
19．已知直角梯形中，，，，、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．
20．如图，已知曲线，曲线的左右焦点是，，且就是的焦点，点是与的在第一象限内的公共点且，过的直线分别与曲线、交于点和．
（Ⅰ）求点的坐标及的方程；
（Ⅱ）若与面积分别是、，求的取值范围．
21．已知函数，（为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同极值点．
①求的取值范围；
②求证：．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线的方程是，点是上的动点，点满足（为极点），点的轨迹为曲线，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，已知直线的参数方程是，（为参数）．
（Ⅰ）求曲线直角坐标方程与直线的普通方程；
（Ⅱ）求点到直线的距离的最大值．
23．选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数．解不等式；
（Ⅱ）已知均为正数．求证：．
试卷答案
一、选择题
1-5:CDBBD 6-10:BABCC 11、12：AA
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
23
7
30
非供暖季
65
5
70
合计
88
12
100
，
所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关．
（Ⅱ）①设“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过”为事件，
据题意有频数为25，，
则这一年中随意抽取5天，5天中被限产达到或超过的恰为2天的概率是：
．
②企业甲这一年的利润的期望值为
万元，
故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是万元．
18．【解析】（Ⅰ）由已知有：，即，
又是锐角，∴．
（Ⅱ）
，
∵是锐角三角形，∴，则，
故的取值范围是．
另法：设是边的中点，，
又，
，
据正弦定理得，则，
∵是锐角三角形，当或取临界值时最小值是，
当时最大值是．
则，
．
19．【解析】（Ⅰ）∵， ，
∴，，
又，，
∴平面，，
又，，
∴平面，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系，
作于，连，由（Ⅰ）知，
即为与平面所成角，设，，
而直线与平面所成角的正弦值是，即．
（或：平面的法向量是，，，，
则）．
易知平面平面于，取的中点，则平面，
而，则平面的法向量是，
（或另法求出平面的法向量是），
再求出平面的法向量，
设二面角是，则，
∴平面平面．
20．【解析】（Ⅰ），设，据题意有，
则，，
点在椭圆上及就是的焦点，则，解之得：，
所以的方程是．
或由计算出，从而得方程．
（Ⅱ）易知，当不垂直于轴时，设的方程是，
联立，得，，
设，，则，；
联立得：，
，
设，，
则，，
，
（或）
则，
当垂直于轴时，易知，，此时，
综上有的取值范围是．
设类似给分
21．【解析】（Ⅰ），，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
即时，恒有，
故在上单调递增，．
（Ⅱ），要恰有两个极值点，
等价于在上恰有两个不同零点．
，
当时，在恒成立，在上单调递减，不合要求；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
而，由，
∴，，
此时，，
故当时，在与上各恰有一个零点，
即当时函数有两个极值点．
另法：考查
②不妨设，则有：，两式相加与相减得：，
，而，
，令，
，，，
考查函数，，恒成立于，
在上单调递增，则恒有．
即，成立，
故命题得证．
22．【解析】（Ⅰ）设在极坐标系中，据有，
代入的方程整理得：，
再化为直角坐标方程是：即为所求．
直线的参数方程，（为参数）化为普通方程是．
（Ⅱ）由知，在直角坐标系中设，，
点到直线的距离，
∴．
23．【解析】（Ⅰ）函数，
当时，不等式为，∴，即；
当时，不等式为，解得，即；
当时，不等式为，∴．
综合上述，不等式的解集为：．
（Ⅱ）证明：因为都为正数，
所以①
同理可得②
③
当且仅当时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得：．
或直接用柯西不等式证明：
，
即．
或要证即证，
再证显然成立．
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