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炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（五）
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量满足，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（ ）
A．35 B．65 C．70 D．60
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
7．已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．设等比数列的前项和为，公比为，且，，成等差数列，则等于（ ）
A．-4 B．-2 C． 2 D．4
9．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A． B． C．0 D．
10．设函数的最大值为，最小值为，则等于（ ）
A． B． C． 3 D．2
11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为（ ）
A． B． C． D．
12．锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上．
13．已知实数满足，则的最小值为 ．
14．已知展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含项的系数为 ．
15．已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则面积的最小值是 ．
16．正四棱锥的体积为，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知单调的等比数列的前项的和为，若，且是的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且前项的和为，求．
18．在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区的年平均浓度不得超过3S微克/立方米，的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某市环保局随机抽取了一居民区2016年20天的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如图表：
组别
浓度（微克/立方米）
频数（天）
频率
第一组
3
0.15
第二组
12
0.6
第三组
3
0.15
第四组
2
0.1
（Ⅰ）将这20天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．
（ⅰ）求图中的值；
（ⅱ）在频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
（Ⅱ）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列和数学期望．
20．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点，两点，连接，求的面积的最大值．
21．已知函数（为常数）与轴有唯一的公关点．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，满足，证明：．
请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，圆的极坐标方程为
．
（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）过点作斜率为1的直线，直线与圆交于两点，试求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5: DBACA 6-10: CDAAA 11、12：CB
二、填空题
13．5 14． 20 15． 16．
三、解答题
17．解析：（Ⅰ）或（舍）；
，
．
（Ⅱ）；
，
．
．
18．解析：（Ⅰ）∵平面，平面，平面，
∴，．又，
∴，，两两垂直．
以点为坐标原点，，，分别为轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得，，，，，，，
∴，．
∴，∴．
（Ⅱ）由已知得是平面的法向量，
设平面的法向量为，
∵，，
∴，即，令，得，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则．
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19．解析：（Ⅰ）（ⅰ）的值为0.004．
（ⅱ）2016年该居民区年平均浓度为
（微克/立方米）．
因为，所以2016年该居民区年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．
（Ⅱ）由题意，的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，的可能取值为0，1，2，3．
；
；
；
．
∴的分布列为
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
或．
20．解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为，则，故，
所以，椭圆方程为．
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为o．
故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，
由，消去得，
则，将式子中的换成，得：．
，
设，则．
故，取等条件为即，
即，解得时，取得最大值．
21．解析：（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，
故由题意可知曲线与轴存在公共点，又，则有
当时，，函数在定义域上递增，满足条件；
当时，函数在上递减，在上递增，
①若时，则，取，则，
故由零点存在定理可知，函数在上还有一个零点，因此不符合题意；
②若，则函数的极小值为，符合题意；
③若，则由函数的单调性，有，取，有．下面研究函数
，，因为恒成立，故函数在上递增，故，故成立，函数在区间上存在零点．
不符合题意．
综上所述：
当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，无递减区间．
（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，
由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．
不妨设，因为，则，
则有，整理得，
由基本不等式得，故，整理得，
即．
由函数在上单调递增，所以，即．
22．解析：（Ⅰ）由得：，∴，
即：，∴的直角坐标方程为：．
（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，直线和圆的方程联立得：
，所以，，．
所以，．
23．解析：（Ⅰ）可化为，
即，或，或，
解得，或，或；
不等式的解集为．
（Ⅱ）易知；
所以，又在恒成立；
在恒成立；
在恒成立；
．
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