辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题Word版含答案.doc

‎2017-2018学年度上学期期末考试高二试题 数学（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.命题：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ）‎ A．命题P B．命题 C．命题 D．命题 ‎3.若，，则，，中最大的数为（ ）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎ ‎4.若函数有极值，则导数的图象可能是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C.充分必要 D．既不充分也不必要条件 ‎6.下列选项错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B．“”是“”的充分不必要条件；‎ C.若命题：，，则：，；‎ D．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题 ‎7.已知抛物线，直线与该抛物线交于，两点，则弦的长为（）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的极小值是（）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.关于函数。下列说法中：①它的极大值为，极小值为；②当时，它的最大值为，最小值为；③它的单调减区间为；④它在点处的切线方程为，其中正确的有（）个 A． B． C. D．‎ ‎10.已知双曲线与椭圆有共同的焦点，双曲线的实轴长于虚轴长的比值为，则双曲线的方程为（）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.若圆与双曲线的没有公共点，则半径的取值范围是（）‎ A. B． C. D．‎ ‎12.设，满足约束条件，且的最小值为，则（ ）‎ A． B． C.或 D．或 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.抛物线的直线方程为 ．‎ ‎14.若，则 ．‎ ‎15.已知，，，则的最小值是 ．‎ ‎16.过椭圆（）中心的直线与椭圆相交于，两点，，‎ 是椭圆的焦点，若平行四边形的面积为，则椭圆的离心率取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列满足，前项和。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列满足，，求前项和 ‎18. 设函数，是自然对数的实数，，且为实数。‎ ‎（1）若在处的切线的斜率为e，求的值；‎ ‎（2）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围。‎ ‎19. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点.‎ ‎（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.‎ ‎20. 设数列满足，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和 ‎21. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知圆的方程是，过圆上任一点作椭圆的两条切线，，求证：‎ ‎22.已知函数，‎ ‎（1）若在处取得极值，求的值；‎ ‎（2）求在区间上的最小值；‎ ‎（3）在（1）的条件下，若，求证：当，恒有 ‎2017-2018学年度上学期期末考试高二试题 数学（文）参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:ABCBA 6-10:DBDDC 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设的公差为，由已知条件得 ‎,‎ 化简得，‎ 解得，‎ 故通项公式，即 ‎（2）由（1）得，‎ 设的公比为，则，从而 故的前项和 ‎18.解：（1）‎ 依题意，，解得 ‎（2）‎ 若在区间上单调递增函数 当且仅当在上恒大于等于零，‎ 由，令 ‎，由得 最小值 在上的最小值为 所以，当且仅当时，在上单调递增 ‎19.证明：（1）设过点的直线交抛物线于点，‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，‎ 直线与抛物线相交于点、，∴‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中 由得，则 又∵，，∴‎ 综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题.‎ ‎（2）逆命题是：设直线交抛物线于、两点，‎ 如果，那么直线过点，‎ 该命题是假命题.‎ 例如：取抛物线上的点，.此时 直线的方程为，而不在直线上.‎ ‎20.解：（1）因为，①‎ 当时，②‎ ‎①②得，，所以 当时，适合上式，所以（）‎ ‎（2）由（1）得 所以 所以 ‎③‎ ‎④‎ ‎③④得 所以 ‎21.解：（1），，，所以 所以椭圆的方程为 ‎（2）设，若过点的切线斜率都存在，设其方程为 有得 因为直线与椭圆相切，所以 整理得 设椭圆的两条切线的斜率分别为，，由韦达定理，‎ 因为点在圆上，所以，即 所以，所以 特别的，若过点的的切线有一条斜率不存在，不妨设为，则该直线的方程为，则的方程为，所以 综上所述，对于任意满足题设的点，都有 ‎22.解：（1）由，定义域为 得 因为函数在处取得极值，‎ 所以，即，解得 经检验，满足题意，所以。‎ ‎（2）由（1）得，定义域为 当时，由得，且 当时，，单调递减，当时，，单调递增 所以在区间上单调递增，最小值为；‎ 当时，‎ 当时，，单调递减，当时，，单调递增 所以函数在处取得最小值 综上，当时，在区间上的最小值为；‎ 当时，在区间上的最小值为 ‎（3）证明：由得 当时，，‎ 欲证，只需证 即证，即 设 则 当时，，所以在区间上单调递增。‎ 所以当时，，即 故 所以当时，恒成立。 ‎