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海淀区高一年级第一学期期末练习
数学
一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．若幂函数的图象经过点，则在定义域内（ ）
A．为增函数 B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值
4．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且三点共线，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C．与共线 D．
6．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）
7．已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）
A．无最大值，但有最小值
B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值
D．既无最大值，又无最小值
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
9．已知向量，写出一个与共线的非零向量的坐标 ．
10．已知角的终边过点，则 ．
11．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则 ．
12．函数是区间上的增函数，则的取值范围是 ．
13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．
（参考数据：，）
14．已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）．
①函数在区间上是增函数；
②满足条件的正整数的最大值为3；
③.
三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知向量，，.
（Ⅰ）若关于的方程有解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若且，求.
16．已知二次函数满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数是奇函数，当时，，
（ⅰ）直接写出的单调递减区间： ；
（ⅱ）若，求的取值范围.
17．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
2
0
0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数的解析式 （直接写出结果即可）
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.
（Ⅰ）下列函数①，②，③（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；
（Ⅱ）若为线周期函数，其线周期为，求证：函数为周期函数；
（Ⅲ）若为线周期函数，求的值.
海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案
数学
一、选择题
1-4:DACC 5-8:DCBA
二、填空题
9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如等
10． 11．3 12．
13．2021 14．①②③
三、解答题
15．解：（Ⅰ）∵向量，，，
∴.
关于的方程有解，即关于的方程有解.
∵，
∴当时，方程有解.
则实数的取值范围为.
（Ⅱ）因为，所以，即.
当时，，.
当时，，.
16．解：（Ⅰ）；
.
（Ⅱ）（ⅰ）.
（ⅱ）由（Ⅰ）知，则当时，；
当时，，则
因为是奇函数，所以.
若，则
或
解得或.
综上，的取值范围为或.
17．解：（Ⅰ）
0
0
2
0
0
解析式为：
（Ⅱ）函数的单调递增区间为，.
（Ⅲ）因为，所以.
得：.
所以，当即时，在区间上的最小值为-2.
当即时，在区间上的最大值为1.
18．解：（Ⅰ）③
（Ⅱ）证明：∵为线周期函数，其线周期为，
∴存在非零常数，对任意，恒成立.
∵，
∴.
∴为周期函数.
（Ⅲ）∵为线周期函数，
∴存在非零常数，对任意，.
∴.
令，得；…………①
令，得；…………②
①②两式相加，得.
∵，
∴.
检验：
当时，.
存在非零常数，对任意，
，
∴为线周期函数.
综上，.
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