济南一中高三年级2018新年学业检测数学试题（文科）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，集合，而，则，
则，故选A.
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】，
∴复数 对应的点位于第二象限
故选：B
点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（ ）
A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C.
考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式.
4. 从数字，，，，中任取个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数共有=20个，其中这个两位数小于30的个数为=8个（十位1，2中任选1个，个位其余4个数选1个），
故所求概率P=1﹣=
故选：C
5. 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】试题分析：模拟执行程序，可得：；；不满足条件；不满足条件；不满足条件；不满足条件，此时满足条件，推出循环，输出的值为，故选C．
考点：程序框图．
6. 若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（ ）
A. 4 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】试题分析：画出可行域，点A（3，1）到原点距离最大，所以，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.
从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
7. 直线与圆相切，则（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.
考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.
8. 已知函数，则下列结论中正确的是
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D. 函数在区间上单调递增
【答案】C
【解析】对于函数，它的最小正周期为=π，故排除A；
令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除B；
把函数的图象向右平移个单位长度，
可以得到函数y=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故C满足条件；
在区间上，∈（，），函数f（x）单调递减，故排除D，
故选：C．
9. 函数，则函数的导数的图象是（ ）
A. B.
C. ． D.
【答案】A
【解析】函数，可得y′=是奇函数，可知选项B，D不正确；
当x=时，y′=，导函数值为负数，排除A，
故选：C．
10. 如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据三视图知几何体是组合体，
下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，
圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，
∴该几何体的体积V=，
故选：A．
11. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在 中，
，
由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径），
又∵球心到平面的距离
∴球的半径 ，
故球O的表面积
故选D
【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．
12. 设函数的定义域为R , , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为
A. B. C. D .
【答案】B
【解析】函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），
可知函数是偶函数，f（x）=f（2﹣x），
可知函数的对称轴为：x=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，
函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）可知函数是偶函数，
g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）=0，可得|cos（πx）|=f（x），
在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos（πx）|，
y=f（x）的图象如图：
函数在区间[﹣，]上的零点的和为：0．
函数在[，]时，两个函数的交点关于x=1对称，零点有3个，
零点的和为：3．
故选：B．
点睛：本题重点考查了函数的对称性，通过对称性把零点和问题转化为寻找对称中心和对称轴的问题，研究函数问题即研究函数的图象与性质.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的极小值为_______．
【答案】-2
【解析】试题分析：，令得，当或时，，当时，，所以当时，函数有极小值，且极小值是．
考点：导数研究函数的极值．
14. 设是公差为正数的等差数列，若，，_________.
【答案】105
【解析】设数列的公差为d（d＞0），∵3=15∴=5．
∵∴（5﹣d）•5•（5+d）=5（25﹣d2）=80
∴d2=25﹣16=9
∴d=3∴a11+a12+a13=（a1+a2+a3）+30d=15+90=105
故答案为105．
15. 已知平面向量与的夹角为，，，则 __________.
【答案】2
【解析】试题分析：．
考点：向量的基本运算．
16. 如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则_________.
【答案】20
【解析】由抛物线方程y2=4x可得p=2．
∵横坐标x1，x2，…，x10依次成等差数列，F是抛物线的焦点，且x1+x9=2，
则
故答案为：20．
点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在△中，分别为内角的对边，.
(Ⅰ) 求的大小；
(Ⅱ) 若, , 求△的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由正弦定理，化简整理a2+c2-b2+ac=0，再由余弦定理，求得角B的大小，
（2）由三角行的内角和定理，求得C及sinC，再由正弦定理，求得c的值，可求得三角形的面积．
试题解析：
（1）解：∵
由正弦定理得
化简，
∴
∵，∴.
（2）∵，∴
∴
由正弦定理得
，
∴ ，
∴的面积
，
.
18. 韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．
(1)依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数
（2）请依上述支持率完成下表：
年龄分布
是否支持
[30，40）和[40，50）
[50，60）和[60，70）
合计
支持
不支持
合计
根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？
附表：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中 参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）
【答案】（1）年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；
（2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．
试题解析：
（1）设年龄在[50，60）的人数为x，则最后三组人数之和为3x，
所以四组总人数为4x=800，得x=200，
则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，
[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；
（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9=15，[50，60）和[60，70）的人数为12+13=25．
填表如下
年龄分布
是否支持
[30，40）和[40，50）
[50，60）和[60，70）
合计
支持
15
25
40
不支持
485
275
760
合计
500
300
800
所以K2=≈11.228＞10.828，
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．
点睛：点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
19. 如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
【答案】(1)见解析(2) BC=3或BC=3
【解析】试题分析：（Ⅰ）先由已知易得，再注意平面平面，且交线为，由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得到，再注意到
，而，从而有，那么由线面垂的判定定理可得平面，
（Ⅱ）设则可用将四棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于的一个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长．
试题解析：证明：如题（20）图.由知，为等腰中边的中点，故
，
又平面平面，平面 平面，平面，，
所以平面，从而.
因.
从而与平面内两条相交直线，都垂直，
所以平面.
（2）解：设,则在直角中，
.从而
由，知，得,故，
即.
由,,
从而四边形DFBC的面积为
由（1）知，PE平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角中，,
体积,
故得，解得，由于，可得.
所以或.
考点：1. 空间线面垂直关系，2. 锥体的体积，3.方程思想.
20. 已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】(1)由题设，得＝1，①且＝，②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＝1.
(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，即k＝±1.
若k＝1，则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．
21. 已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）先代入，对求导数，再算出，，进而可得曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）先构造函数，再利用导数可得的最小值，，进而可证当时，．
试题解析：（Ⅰ）解：当时，，
所以．
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为．
即.
（Ⅱ）证法一：当时，.
要证明，只需证明.
以下给出三种思路证明.
思路1：设，则.
设，则，
所以函数 在上单调递增
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且
因为时，所以，即
当时，；当时，
所以当时，取得最小值．
故．
综上可知，当时，.
思路2：先证明 ．
设，则．
因为当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
所以要证明，
只需证明．
下面证明．
设，则．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
由于取等号的条件不同，
所以．
综上可知，当时，.
（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）
思路3：先证明.
因为曲线与曲线的图像关于直线对称，
设直线 与曲线，分别交于点，，点，到直线
的距离分别为，，
则．
其中， ．
①设 ，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，则．
所以．
②设 ，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．
所以．
所以．
综上可知，当时，.
证法二：因为，
要证明，只需证明.
以下给出两种思路证明.
思路1：设，则.
设，则．
所以函数 在上单调递增．
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.
因为，所以，即．
当时，；当时，.
所以当时，取得最小值．
故．
综上可知，当时，．
思路2：先证明，且．
设，则．
因为当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值．
所以，即（当且仅当时取等号）．
由，得（当且仅当时取等号）．
所以（当且仅当时取等号）．
再证明．
因为，，且与不同时取等号，
所以 ．
综上可知，当时，．
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明．
22. 选修4－5: 不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时，求函数的定义域；
(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R，求实数的最大值．
【答案】(1) (2)的最大值为.
【解析】试题分析：(Ⅰ)由对数函数的定义域可得含绝对值不等式，利用分类讨论的方法可得函数的定义域；(Ⅱ)将不等式转化为含绝对值不等式，利用不等式的性质可得，进而求得的最大值．
试题解析：(Ⅰ)解：由题设知：，
① 当时，得，解得.
② 当时,得,无解.
③ 当时,得, 解得.
∴函数的定义域为.
(Ⅱ)解：不等式，即，
∵R时，恒有
又不等式解集是R，
∴，即. ∴的最大值为.
考点：含绝对值不等式的求法；恒成立问题．
微信/支付宝扫码支付