数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.把正确答案涂在答题卡上．
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知直线：，：，若：；，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A． B．-2 C. D．
5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（ ）
A． B． C. D．
6.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7．如图，矩形中，点的坐标为．点的坐标为．直线的方程为：且四边形为正方形，若在五边形内随机取一点，则该点取自三角形(阴影部分)的概率等于（ ）
A． B． C. D．
8. 若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．
9.已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象为（ ）
A.B.C.D.
10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
11．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.已知的定义域为，若对于，，，，，分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”，下例四个函数为“三角形函数”的是（ ）
A．； B．；
C.； D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题每题5分，满分20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知向量，，若向量与垂直，则 ．
14.若函数则 ．
15.抽样统计甲、乙两位射击运动员的次训练成绩（单位：环）结果如下：
运动员
第次
第次
第次
第4次
第次
甲
乙
则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
16.在中，为边长一点，，．若且的面积为，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前项和为满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设．求数列前项和．
18．如图，三棱锥中，，平面，，点在线段上，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，，，若为棱上一点，且面，求四棱锥的体积．
19.某高中三年级共有人，其中男生人，女生人，为调查该年级学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？
（Ⅱ）根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）．其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该年组学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率．
（Ⅲ）在样本数据中，有位女生的每周平均体育运动时间超过个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：
20．已知椭圆：的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．
21．已知．
（Ⅰ）当在处争线的斜率为，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求的极值；
（Ⅲ）若有个不同零点，求的取值范围．．
请考生在第22～23题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两神坐标系中的长度单位相同．已知曲线的极坐标方程为，．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数）的距离最短，写出点的直角坐标．
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（Ⅰ）若的解集为，求的值；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
数学(文科)试题参考答案
2018．1
一、选择题
1-5：CACAB 6-10:ADBDD 11、12：CB
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）当时，∵ ①
∴ ②
①-②得：
∴；即，
又；得：，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列
∴，即，
（Ⅱ）∵，，
∴，
∴．
，
，
．
18．（Ⅰ）证明：因为面，面，所以，
又因为，
，所以，又所以面
又面，所以面面
（Ⅱ）解：面，面，面面
所以，又因为，所以，
过作，则，且面，，
又，中，，
中，，所以，
所以，解得
由体积公式知，
19．解：（Ⅰ），所以应收集位女生的样本数据
（II）由频率分布直方图得，该年级学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，位学生中有人的每周下均体育运动时间超过小时．人的每平下均体育运动时间小超过小时，又因为样本数据中有关于男生的．是关于女生．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过小时
每周平均体育运动时间超过小时
总计
结合例联表可算得．
有的把握认为“该年组学生的周平均体育运动时间与性别有关”．
20．解：（Ⅰ）方程为：即为：
由题意得
整理得：
，（舍） ∴
椭圆：
（Ⅱ）设直线：，令得 ∴
∴
∴ ∴
∴方程为：
令得 ∴
设，则且
∴
∴ 即：
所以是定值为
21．解：（Ⅰ）
∴
（Ⅱ）当时
，，为减函数
，，为增函数
∴，无极大值
（Ⅲ）
当时，，只有个零点
当时，
，，为减函数
，，为增函数
而
∴当，，使
当时，∴ ∴
∴
取，∴
∴函数有个零点
当时，
令得，
①，即时
当变化时 ，变化情况是
∴
∴函数至多有个零点，不符合题意
②时，，在单调递增
∴至多有个零点，不合题意
③当时，即时
当变化时，的变化情况是
，时
∴函数至多有个零点
综上：的取值范围是
22．解：（Ⅰ）由，，可得
∴曲线的直角坐标方程为
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为，与相离，设点，且点到直线：的距离最短，则曲线在点处的切线与直线：平行，
∴，又
∴（舍）或，∴
∴点的坐标为
23．解：（Ⅰ），即，两边平方并整理得
，
所以，是关于的方程的两根．
由根与系数的关系得
解得．
（Ⅱ）因为，
所以若不等式恒成立，
只需，
当时，，解得；
当时，，此时满足条件的不存在．
综上可得实数以的取值范围是．
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