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第一学期学分认定考试
高三数学(理)试题
2018．01
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答。答案必须写在答题纸指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
公式：1．线性回归方程的系数公式
2．独立性检验统计量
3．临界值表：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．z为虚数，i为虚数单位，若
A． B． C． D．
2．已知集合
A． B． C． D．
3．已知，则
A． B． C． D．
4．阅读右侧框图，输出的结果为
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，动点，则z的最大值为
A．0 B． C．1 D．
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为3，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为
A．2 B．3 C． D．
7．已知P是所在平面内一点，且满足，现将一粒黄豆随机撤在内，则黄豆落在内的概率是
A． B． C． D．
8．三棱锥平面ABC，底面,
的外接球的表面积为
A． B． C． D．
9．已知函数对称中心和最近的对称轴之间的距离为，将图象向左平移个单位，所得新函数的解析式为
A. B.
C. D.
10．抛物线的焦点恰好是双曲线的实轴端点，又双曲线的离心率为2，
则实数n的值为
A．1 B． C． D．
11．已知角C是中的锐角，且，则角C的值为
A． B． C． D．
12．已知集合，
若，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13．已知向量的夹角等于___________．
14．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题：
①若；②若的必要条件；
③若．
其中错误命题的序号是______________．(把所有错误命题的序号都填上)
15．已知函数，则实数m的取值范围是______.
16．已知，则二项式展开式中的常数项为________．
三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．
第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．
17．(本小题满分12分)已知Sn是数列的前n项和，，其中.
(I)求数列的通项公式；
(Ⅱ)数列为等差数列，为其前n项和，的最值．
18．(本小题满分12分)
某校成立了数学奥赛集训队，男女同学共20人，对男女队员历次模拟平均成绩分布情况统计
如下表：
(I)历次模拟平均成绩在70分以上的认为是“具有潜力”的选手，否则认为“不具潜力”
请运用独立性检验的知识，对男女两个分类，针对是否具有潜力填写下列4*4列联表，请计算K2的观测值，并对照以下临界值表，分析说明是否有95％的把握认为是否具有潜力与性别有关．
4×4列联表
(Ⅱ)教练计划从模拟平均成绩在的所有队员中抽出3名同学去参加比赛，
(i)记3名同学中男女生都有为事件A，求；
(ii)设其中的女生数为，求的分布列和数学期望．
19．(本小题满分12分)
已知ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=∠BCD=90°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2BC=4，平面PAD与平面PBC所成的二面角的平面角为，且，M是BC的中点．
(I)求证：平面平面PDM；
(Ⅱ)求三棱锥的体积．
20．(本小题满分12分)
已知平面直角坐标系内，A，B两点分别在x轴和y轴上运动，线段AB的长为定值2，
是动点，且；直线l为过定点的动直线．
(I)求动点P的轨迹C的标准方程；
(Ⅱ)设直线l与轨迹C交于M、N两点，，求面积S的最大值，并求出此时直线的方程．
21．(本小题满分12分)
已知
(I)分析判断函数在定义域上的单调性情况；
(II)若，证明：方程上没有零根．
(其中e为常数，e约为2.7182…)
请考生在第22，23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目．如果都做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
在以O为原点，以x轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线的方程为：；在平面直角坐标系，曲线的方程为(其中为参数)
(I)把曲线化为普通方程，说明所表示的曲线是什么；把点A用极坐标表示出来；
(Ⅱ)求点A到曲线上点的最小距离；判断和的位置关系，如相交，求出相交弦的长．
23．【选修4—5：不等式选讲】(本小题满分10分)
已知函数
(I)设，解不等式；
(Ⅱ)设，若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
第一学期学分认定考试
高三数学（理）参考答案及评分标准 2018.01
公式: 1.线性回归方程的系数公式
2. 独立性检验统计量,其中
0.25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
3. 临界值表:
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. BDCBA 6-10ACDAD 11-12 BＣ
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13． 14．①②③ 15. 16．
三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．
第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．
17．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 由
（i）当时，
(ii)当时，（*）
其中，时，也满足（*）式
所以，对任意，都有……………………6分
(Ⅱ)设等差数列的首项为，公差为，，
由等差数列的通项公式得，，解得
所以………………………9分
可以看出随着的增大而减小,
令，解得,
所以有最大值，且（或）为前项和的最大值
…………………12分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 列联表
具有潜力
不具潜力
总计
男生
女生
总计
……………………………………………3分
由公式的观测值
计算结果约为……………………………5分
无关的可能性至少,
所以没有的把握认为是否具有潜力与与性别有关……………………6分
(Ⅱ) 模拟平均成绩在的所有队员共名,其中男生名,女生名
(i) 从中任意抽出名同学的方法总数为种
名同学去参加比赛男女生都有的方法为
由等可能性事件的概率,
所以名同学中男女生都有的事件的概率……………………8分
(ii) 女生数的值可为
所以的分布列为
的数学期望为………………………12分
19．（本小题满分12分）
解:
(Ⅰ)过作直线,则
平面,平面
所以是平面与平面的公共交线……1分
由
易得
所以即为平面与平面所成的二面角的平面角
所以……………………3分(其他方法,如向量求解,参照给分即可)
中
所以
所以……………………………4分
以为坐标原点,分别以所在射线为轴,建立
空间直角坐标系如右图所示
,为中点
可得
所以 (只设平面直角坐标也可以)
所以
所以在底面内,直线………………………6分
因为(平面)
所以可得:平面
又平面
根据面面垂直的判定定理
所以平面平面……………………7分
(Ⅱ) 三棱锥的体积等于三棱锥的体积
…………10分
平面
所以………………12分
20．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ)设
由题意, (*)
因为,即
所以,所以(1)
将(1)代入(*)式可得:
,即
所以动点的轨迹的标准方程为………………………5分
(Ⅱ) （i）直线斜率不存在时,直线为
此时易求得(*)
（ii）当直线斜率存在时,设斜率为,过,点在椭圆内,直线和椭圆恒有交点
直线为
联立直线和椭圆的方程,
整理得到:..............6分
得:
所以(**)……7分
令,得,则
代入(*)式,得:
,为关于的二次函数
而,根据二次函数的图象性质,对称轴为,开口朝下,可得
所以……………………10分
对比(*)式,可知,当直线斜率不存在时有最大值
所以此时
即: 的面积的最大值为,此时直线为…………………12分
21．（本小题满分12分）
(Ⅰ)解：函数的定义域为
又
………………………………1分
(1)当时则
可以看出，当时，；当时，；
所以，时，函数在区间上单调递减；在上单调递增………2分
(2)当时，
(i)若，则，，当时，；当时，
所以得时，在上单调递增；在上单调递减；
（ii）若,则，解不等式，得或
解不等式，得
所以得：时，函数在区间上单调递减；在区间上分别单增.
(iii)当时，，在定义域上，总有
所以此时，在定义域上，函数恒为单调递增函数
（iv）当时，，解不等式，得或；
解不等式，得；
所以，当时，得函数在和上分别单调增；在单调递减；
………………………………………………………5分
综上，当时，在上单调递增；在上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减；在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；在上分别单增.
当时，在定义域上，函数恒为单调递增函数
当时，函数在和上分别单调增；在单调递减.
……………………………………………………………6分
(Ⅱ) 证明： 因为，所以
由(Ⅰ)得，此时函数在上单调递减；在上分别单增.
列出在上单调性情况分析如下表：
单调递增
极大值
单调递减
由图可以看出，，函数单调递增；时，函数单调递减；
当时，函数取得极大值，也是最大值，………………………9分
因为，，所以；又
所以恒成立
由此，在上，恒成立…………11分
根据连续函数根的存在性，方程在上，不可能有根存在…………12分
请考生在第22,23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目. 如果都做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
解: (Ⅰ) 曲线的方程为:
展开,即,
由可得
,也即
所以曲线的方程为
为过的直线…………………3分
设
因为点,得
所以,所以点的极坐标为………………………5分
(Ⅱ) 曲线的方程为
整理得
表示以为圆心,以为半径的圆
点到圆心的距离为
所以点在圆外,点到圆上的点的距离有最小值
且……………………………7分
所以曲线的方程为
由点到直线的距离公式,计算出圆心到直线的距离为…………………………8分
所以直线与圆相交,设相交于
所以
综上, 点到圆上的点的距离最小值为;
直线与圆相交, 相交弦长为………………………10分
23. [选修4-5:不等式选讲]（本小题满分10分）
解: (Ⅰ)时, 不等式即
(i)如果,则,
原不等式可化为,即,
所以此时解集为
(ii) 如果,则,
原不等式可化为,得
所以此时解集为
(iii) 如果,,
原不等式可化为,得
所以此时解集为
综合(i)(ii)(iii)可得：解集为
.................................................................5分
(Ⅱ)时，
不等式即：
也即：
设
其中等号当且仅当成立
由此，对任意实数，有最大值，…………7分
恒成立
所以，即
解这个一元二次不等式，得：或
综上，,使不等式对任意实数恒成立的实数的取值范围或………………………………10分
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