湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试
数学(理科)
命题：贺仁亮 朱修龙 严勇华 周艳军
审题：高二数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
得分：______________
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是
A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直
3．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①β∥γ；②m⊥β；③α⊥β；④m∥α.
其中正确的命题是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
4．已知命题p：x0∈R，使sin x0＝；命题q：x∈，x>sin x，则下列判断正确的是
A．p为真 B．綈q为真 C．p∧q为真 D．p∨q为真
5．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为
A．1 B．－1 C. D．2
6．已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是
A. B. C. D.
7．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为
A．1 B．－1 C．0 D．2
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
年收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
年支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－x，据此估计，该社区一户年收入为15万元时家庭年支出为
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
9．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于
A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为
(参考数据：≈1.732；sin 15°≈0.258 8；
sin 7.5°≈0.130 5.)
A．12 B．24
C．36 D．48
11．若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为
A．1 B．2
C．3 D．6
12．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为
A．2 B．2 C．4 D．2
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．∫－(1＋cos x)dx＝________．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝2x2＋x 的图象上，则数列{an}的通项公式为an＝________．
15．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
16．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c为最大边，又已知b＝R，其中R是△ABC的外接圆半径．且bsin B＝(a＋c)sin A.
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)试判断△ABC的形状．
18.(本小题满分12分)
在如图所示的六面体中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，BE＝2AF＝4.
(Ⅰ)求证：AC∥平面DEF；
(Ⅱ)若二面角E－AB－D为60°，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．
19.(本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n∈N*，n≥2)．
(Ⅰ)证明：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(Ⅱ)设数列满足bn＝2log4，证明：对一切正整数n，有＋＋…＋y＝0恒成立，即x∈，x>sin x，所以q真．判断可知，D正确．
5．D 【解析】曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.故选D.
6．D 【解析】f(x)＝2sin， 又y＝f(x＋φ)＝2sin的图象关于直线x＝0对称，即为偶函数，∴＋φ＝＋kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
7．A 【解析】设a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝a＝(2＋)4，a0－a1＋a2－a3＋a4＝b＝(2－)4，
则待求式＝ab＝[(2＋)(2－)]4＝1.
8．B 【解析】由已知得x＝＝10(万元)，y＝＝8(万元)，故＝8－0.76×10＝0.4，所以回归直线方程为＝0.76x＋0.4，
当社区一户年收入为15万元时家庭年支出为＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.
9．D 【解析】f′(x)＝sin x＋xcos x，f′＝1，即函数f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切
线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以×1＝－1，解得a＝2.故选D.
10．B 【解析】n＝6时，S＝×6×sin 60°＝≈2.598
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