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莆田第八中学2018届高三第4 次月考
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知全集，集合，集合，那么（ ）
A. B. C. D．
2．若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3．若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4.已知上的奇函数满足：当时，，则（ ）
A. B． C. D.
5.下列命题正确的个数为（ ）
①“都有”的否定是“使得”；
②“”是“”成立的充分条件；
③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题
A. B. C. D.
6.函数的图象大致是（ ）
7．某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于 （ ）
A． B．
C． D．
8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
9.对锐角α若，则( )
A. B. C. D.
10．如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝，，BC＝2，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，则=（ ）
A． B．－2
B． C．0 D．
11. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ）
A. 2 B． 1 C． D．3
12.已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）
13．=
14．将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值是_______
15. 已知满足的最大值为，若正数满足，则的最小值为 .
16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）令,设数列的前项和为,求.
18. （本小题满分分）
已知向量，，设函数，若函数的图象关于直线对称且．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，求的最大值．
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，，，为正三角形.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设的中点为，求平面与平面所成二面角的平
面角的余弦值．
20．(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于、两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若在区间内，函数的图象恒在直线下方，求实数的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．
（1）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；
（2）若直线和曲线相交于两点，且，求直线的斜率．
23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知，使不等式成立．
（1）求满足条件的实数的集合；
（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．
高三理科月考（20180104）理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
B
B
D
C
D
C
B
A
B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13.-1 ; 14. ?; 15. ; 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.
17. 解析：(1)设数列的公差为,数列的公比为,则
由得解得
所以，． …………………5分
(2)由(1)可知
………………①
………………②
①-②得:
…………………10分
18．解：（1）
…………………2分
函数的图象关于直线对称，则
则，且，则 …………………4分
∴，令，解得
∴函数的单调递减区间为 …………………6分
（2），且A是△ABC内角，
∴，则，所以，则，
∵，由余弦定理
则，而，所以
，当且仅当时，
所以的最大值为．…………………12分
19. 解：（1）在等腰梯形中，过点作于点，
如图所示：有
∴在中，有，即
又因为平面平面且交线为，∴平面.---5分
（2） 由平面平面，且为正三角形,为的中点，
∴，得平面．
如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
由条件，则，，．
则，，，．------- 6分
在等腰梯形中，过点作的平行线交延长线于点如图所示：
则在中，有，，∴．------- 7分
（另解:可不做辅助线，利用求点坐标）
∴，，设平面的法向量
则 ，取，则，，
∴面的法向量．------- 9分
同理有，，设平面的法向量
则 ，
取，则，，∴面的法向量．--10分
设平面与平面所成二面角的平面角为，
∴．
即平面与平面所成二面角的余弦值为．------- 12分
（2）∵，∴四边形为平行四边形，
显然直线的斜率存在，设的方程为，
把代入得，
由得，
∴，，
∵………………………7分
∴
=，
令，∴，
∴…………………10分
当且仅当，即时取等号，
∴，此时的方程为。 12分
21. （1）， ．（2）
【解析】试题分析: （1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在给定区间上为增函数,所以为最小值, 为最大值;（2）令,则的定义域为,即在内恒成立,对函数求导,按照极值点是否落在区间内分类讨论函数的单调性,得出函数的极值,利用的最大值小于零得出参数范围.
试题解析:（1）当时， ， ，
对于，有，∴在区间上为增函数，
∴， ．
（2）令，则的定义域为．
在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立．
∵，
①若，令，得极值点， ．
当，即时，在上有．
此时， 在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；
当，即时，同理可知， 在区间上，有，也不合题意；
②若，则有，此时在区间上恒有．
从而在区间上是减函数．
要使在此区间上恒成立，只需满足．
由此求得的范围是．
综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．
22．（1）直线与曲线相交；（2）.
【解析】试题分析：（1）由
,又直线过点,且该点到圆心的距离为直线 与曲线相交；（2）先当验证直线的斜率不存在时,直线过不成立直线 必有斜率, 设其方程为
圆心到直线的距离
的斜率为．
试题解析：（1）因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为
,即,因为直线过点,且该点到圆心的距离为，所以直线与曲线相交．
（2）当直线的斜率不存在时,直线过圆心,则直线必有斜率, 设其方程为
,即,圆心到直线的距离,
解得,所以直线的斜率为．
考点：坐标系与参数方程．
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
23．（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）令，利用零点分段法去绝对值，求得函数，故；（2）利用基本不等式和（1）的结论，有，即，同理根据基本不等式有， 时取等号.
试题解析：
（1）令，则，
由于使不等式成立，有．．．．．．．．．．．5分
（2）由（1）知， ，
从而，当且仅当时取等号，
再根据基本不等式当且仅当时取等号，
所以的最小值6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：不等式选讲.
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