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北京市昌平区2017－2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
2018.1
考生须知：
1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
(1) 设全集，，，则
(A) (B) (C) (D)
(2) 已知角的终边经过点，则的值是
（A） （B） （C） （D）
(3) 已知向量，，若⊥，则的值为
（A） （B） （C） （D）
(4) 设函数，且.则下列结论正确的是
（A） （B） （C） （D）
(5) 如图所示，是的边的中点，则向量
（A） （B）
（C） （D）
(6) 已知都是锐角，若，则下列结论正确的是
（A） （B）
（C） （D）与大小关系不确定
(7) 中国民间流传着有关阳历月份天数的口诀：“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十日，平年二月二十八，闰年二月把一加.”『腊』指十二月，『冬』指十一月. 2017年3月15日为星期三，记作：.已知六，则
（A）六 （B）日 （C）一 （D）二
(8) 对于函数,下列命题
①函数图象关于直线对称；
②函数图象关于点对称；
③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到；
④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)而得到.
其中正确命题的个数是
（A） （B） （C） （D）
(9) 函数的零点的个数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
(10) 如图，函数的图象为折线，.令函数，其中表示这两个数中最小的数.则取最大值时对应的的值为
（A） （B） （C） （D）
第二卷（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
(11) 已知，则 .
(12) 已知，则______________ .
(13) 三个数中最大的数是______________ .
(14) 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则_____________ .
(15)如图，在直角梯形中，点是梯形边上的动点，沿着方向运动.则_________ ；的取值范围是_________.
(16)已知函数.若，则_____ ；若的值域是，则实数的取值范围是________．
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(17) (本小题满分13分)
已知全集，集合A=，，.
（I） 求,；
（II） 若，求的取值范围.
(18) (本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（III）求函数在上的最大值和最小值．
(19)(本小题满分13分)
已知函数，且.
(Ⅰ) 求函数的最值；
(Ⅱ) 设.判断函数的奇偶性，并证明.
(20)(本小题满分15分)
如图，已知.
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 若,求的值；
（III）设点，若三点共线，求的值.
(21)(本小题满分15分)
如图，是一块边长为的正方形地皮，其中是一占地半径为的扇形小山，其余部分为平地，开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形一顶点落在上，相邻两边落在正方形的边上.设，记停车场的面积为.
（I）求；
（II）记的最大值为，求。
参考答案
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题 号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
答 案
C
A
B
D
A
A
D
C
B
C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11） （12）
（13） （14）
（15）； （16）；
（第一空3分，第二空2分）
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(17)(本小题满分13分)
解：(Ⅰ) . ……………3分
因为， ……………5分
所以. ……………8分
（Ⅱ）因为， ……………10分
因为，，
所以. ……………13分
(18)(本小题满分14分)
解：(Ⅰ) 因为
， ……………3分
所以函数的最小正周期. ……………4分
(II) 函数的单调递增区间为.
由
可得.
所以函数的单调递增区间为. …………9分
（III）因为，
所以.
所以.
所以.
所以
所以当即时，；
当即时，. ……………14分
(19)(本小题满分13分)
解：(Ⅰ)(法一)
因为，
所以函数的对称轴为. ……………2分
即.
所以. ……………4分
所以.
因为，开口向上，
所以函数有最小值，最小值为. ……………6分
(法二)
因为，
所以. ……………2分
即：. ……………4分
所以 .
因为，开口向上，
所以函数有最小值，最小值为. ……………6分
(Ⅱ) 函数， ……………8分
所以函数的定义域为. ……………10分
函数为奇函数.，证明如下： ……………11分
，
所以为奇函数. ……………13分
(20)(本小题满分15分)
解：(Ⅰ)因为，
所以. ……………2分
所以. ……………5分
(Ⅱ)因为， ……………6分
因为，
所以.
所以. ……………8分
所以.
所以. ……………10分
（III）因为三点共线，
不妨设. ……………11分
所以.
所以. ……………13分
所以.
所以. ……………15分
(21)(本小题满分15分)
解：（I）如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
则. ……………2分
所以. ……………4分
所以停车场的面积.
所以. ……………7分
（II）设
因为，
所以. ……………9分
所以
. ……………11分
因为对称轴，
因为，
所以.
所以当, 即时，
的最大值为；
当，即时，
的最大值为.
所以. ……………15分
【各题若有其它解法，请酌情给分】
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