上海市静安区2018高三上学期高中教学质量检测数学试卷Word版含解析.doc

www.ks5u.com 静安区2017-2018学年度第一学期高中教学质量检测 高三数学试卷（模拟试卷）‎ 一、填空题 ‎1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵，且复数是纯虚数 ‎∴，即 故答案为4‎ ‎2. 若为上的奇函数，当时，，则_______．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】∵为上的奇函数 ‎∴，‎ ‎∵当时，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是_______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，，该正三棱锥的体积：．‎ 考点：正三棱锥的体积．‎ ‎4. 在菱形中，，，为的中点，则的值是_______；‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】如图所示： ‎ 在菱形中，， ∴ 故答案为1‎ ‎5. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为________立方米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】半径为1米的半圆的周长为，则制作成圆锥的底面周长为，母线长为1 设圆锥的底面半径为，则，即 ∴圆锥的高为 ∴圆锥的体积 故答案为 ‎6. 已知为锐角，且，则________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 点睛：三角函数求值中，要注意“角”的变换，察出“已知角”与“待求角”之间的关系，再选择应用两角和与差的正弦余弦公式变形．‎ ‎7. 设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的，都有成立；②，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎∴ ∴或 故答案为 点睛：本题主要考查三角函数的性质，考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确转化不等式恒成立是解答本题的关键 ‎8. 若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：不等式等价于 设 ‎∵不等式的解集是区间的子集 ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎9. 已知 且，)，，若对任意实数均有，则 的最小值为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵ 且，)，，且对任意实数均有 ‎∴对任意的实数均成立 ‎∴，即 ‎∵‎ ‎∴，则，即，当且仅当，取等号.‎ 故答案为4‎ ‎.....................‎ ‎10. 如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为 ，所经过的在正方 形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：‎ ‎①；② 对任意，都有；‎ ‎③ 对任意，且，都有；‎ 其中所有正确结论的序号是_______；‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】设交正方形于点，如图所示：‎ ‎①当时，∵‎ ‎∴‎ ‎,故①正确 ‎②∵根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积，‎ ‎∴表示正方形 ‎∴‎ ‎∵，且 ‎∴成立，故正②确 ‎③不妨设 ‎∵则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即有 ‎∴‎ ‎∵即 ‎∴，故③错误 故答案为①②‎ 二、选择题 ‎11. “抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵抛物线的标准方程为，其准线方程为 ‎∴‎ ‎∵双曲线的 ‎∴焦点为 ‎∵抛物线即为 ‎∴抛物线的焦点为，则 ‎∴‎ ‎∴“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件 故选A ‎12. 已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是（ ）‎ A. 若，则； B. 若，则；‎ C. 若，则； D. 若，则．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为，且 若，则，所以，故正确，不正确； 若，则可能大于0，也可能小于0，因此，不正确．‎ 故选C ‎13. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ）‎ A. 336种； B. 320种； C. 192种； D. 144种.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，分2种情况讨论，‎ 若只有甲乙其中一人参加,有种情况；‎ 若甲乙两人都参加,有种情况，‎ 则不同的发言顺序种数192+144=336种，‎ 故选：A.‎ ‎14. 已知椭圆抛物线焦点均在轴上，的中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为 （ ）‎ A. ； B. ； C. 1； D. 2．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵由表可知，抛物线焦点在轴的正半轴，设抛物线,则有,  ∴将代入，代入可得,即  ∴抛物线的标准方程为，则焦点坐标为,准线方程为,  设椭圆,把点代入得, ，即 ∴的标准方程为;  ∵ ∴左焦点 ∴的左焦点到的准线之间的距离 ‎ 故选B ‎ 点睛：本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用及学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎15. 对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素是集合对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素是集合对普通乘法的单位元素．‎ 下面给出三个集合及相应的运算“”：‎ ‎①，运算“”为普通减法；‎ ‎②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法；‎ ‎③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．‎ 其中对运算“”有单位元素的集合序号为（ ）‎ A. ①②； B. ①③； C. ①②③； D. ②③．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①，若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；  对于②，表示阶矩阵，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；  ③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，  其单位元素为集合．  故选D 三、解答题 ‎16. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.‎ ‎ ‎ ‎(1)求三棱锥的体积；‎ ‎(2)求异面直线与所成的角的大小.‎ ‎【答案】(1) (2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角形面积公式计算后即得.‎ ‎（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与 所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可．‎ 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．‎ 由的长为，可知．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）设过点的母线与下底面交于点，则，‎ 所以或其补角为直线与所成的角．‎ 由长为，可知，‎ 又，所以，‎ 从而为等边三角形，得．‎ 因为平面，所以．‎ 在中，因为，，，所以，‎ 从而直线与所成的角的大小为．‎ ‎【考点】几何体的体积、空间角 ‎【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.‎ 视频 ‎17. 设双曲线：， 为其左右两个焦点．‎ ‎(1)设为坐标原点，为双曲线右支上任意一点，求的取值范围；‎ ‎(2)若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设，，左焦点，由利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围；（2）根据题设得点轨迹为椭圆，利用，，结合余弦定理以及基本不等式求解椭圆方程即可.‎ 试题解析：（1）设，，左焦点， （）对称轴 ‎∴ ‎ ‎（2）由椭圆定义得：点轨迹为椭圆，，‎ ‎ ‎ 由基本不等式得，当且仅当时等号成立 ‎∴ ，则 ‎∴，‎ ‎∴动点的轨迹方程为 ‎ ‎18. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，‎ 该曲线段是函数，的图像，图像的 最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．‎ ‎（1）求曲线段的函数表达式；‎ ‎（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；‎ ‎（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．‎ ‎【答案】（1）（2）景观路长为千米 (3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，代入点，即可求出解析式．‎ 本题考察的三角函数求值，令，即可求出此时的横坐标，从而根据两点间的距离即可求出景观路的长度．‎ 作图求平行四边形的面积，再根据，即可求出最值．‎ 试题解析：1）由已知条件，得 又∵‎ 又∵当时，有 ‎∴ 曲线段的解析式为．‎ ‎（2）由得 又…6分 ‎∴ 景观路长为千米 ‎（3）如图，‎ 作轴于点，在中，‎ 在中，‎ ‎∴‎ 当时，即时：平行四边形面积最大值为 考点：实际问题中建立三角函数模型 ‎19. 设集合存在正实数，使得定义域内任意都有．‎ ‎(1) 若，试判断是否为中的元素，并说明理由；‎ ‎(2) 若，且，求的取值范围；‎ ‎(3) 若（），且，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用，判断出；（2）由，通过判别式小于0，求出的取值范围；（3）由题意得，推出，即对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时及当时，分别求解最小值即可.‎ 试题解析：（1）∵， ∴. ‎ ‎（2）由 ‎ ‎ ∴，‎ 故 . ‎ ‎（3）由, ‎ 即：‎ ‎ ∴ 对任意都成立 ‎ ∴ ‎ 当时，； ‎ 当时，； ‎ 当时，. ‎ 综上： ‎ ‎20. 设数列满足：①；②所有项；③．‎ 设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是 数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．‎ ‎（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；‎ ‎（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；‎ ‎（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．‎ ‎【答案】（1）1,4,7（2） 见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列；（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前100项以及它们的和；（3）由题意和与的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和．‎ 试题解析：（1）1,4,7． ‎ ‎（2）由，得 ‎ ‎∴ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ ‎∴ ‎ ‎（3）∵ ∴ ‎ 当时，‎ ‎∴ ‎ 由得： ‎ ‎∵使得成立的的最大值为，‎ ‎∴ ‎ 当时： ‎ 当时： ‎ 当时： ‎ ‎∴‎ 点睛：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎