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山西省实验中学2018届高三年级学业质量监测
数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,
∴
故选：B
2. 若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得：，
∴的共轭复数为
故选：D
3. 已知命题，命题,,则成立是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】不能推出，故是的充分不必要条件，故选A.
4. 在中，，,则（ ）
A. 3 B. -3 C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：，展开得：，又因为，所以可得：，因为所以 .
故本题正确答案为
5. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数).若输出的结果为781，则由此可估计的近似值为（ ）
A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151
【答案】B
【解析】根据函数的定义知，每次循环产生的和，是大小属于区间的两个随机数，而判断语句，即在直角坐标系下判断每次产生的随机数，形成的点，是不是在以原点为圆心，半径为，的圆内，因为和，所以当和满足时，点会落在圆在第一象限的圆内。而随机数，形成的点可以看成以原点为顶点，边长为，图象在第一象限的正方形内任意一点.由题意知，程序框图共执行循环语句次，输出
，代表判断语句为是的次数为，即随机数和在圆内次数为，根据随机数和在正方形内等概率分布和圆的面积公式可得：，解得.故本题正确答案为
6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A. 207 B. C. D.
【答案】B
【解析】观察三视图可知，这个几何体是挖去个底面圆半径为，高为的圆锥的边长为的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去个圆锥的体积，即几何体的体积.故本题正确答案为
7. 函数如何平移可以得到函数图象（ ）
A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移
【答案】D
【解析】因为 所以是由向右平移个单位得到的。
故本题正确答案为
8. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】所以为奇函数，排除选项
又时，,图像在轴下方，故本题正确答案为
9. 如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】因为分别为的中点，所以，，所以平面，
平面，又因为,所以平面平面，要使平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为.
故本题正确答案为.
10. 已知双曲线的焦点麵进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，根据点到直线距离的坐标公式得，焦点到渐近线的距离为，根据题意知，焦点到渐近线的距离等于实半轴长，即，又因为双曲线满足，所以，离心率；当双曲线焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，同理可得：，所以，离心率.综上所述，双曲线离心率.
故本题正确答案为
11. 已知，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵a，b∈R+，∴，可得≥．
∵，
∴（a+b）=5≥（a+b），
化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，
解得1≤a+b≤4，
则a+b的取值范围是[1，4]．
故选：A．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】由题意知，当时，恒成立，即在时恒成立，令，则，令，则，所以在时满足，所以在上是增函数，且，，所以存在，使得，即，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，所以，所以的最大值为，即的最大值为故本题正确答案为
点晴：本题考查的是导数在研究函数中的应用以及转化与化归思想，首先通过转化与化归把不等式恒成立问题，通过变量分离得到在时恒成立，进而转化为利用导数知识求解的最小值问题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合， 终边上一点坐标为，则__________．
【答案】
【解析】由三角函数定义得 ，所以
14. 己知实数，满足不等式组 则的最小值为__________．
【答案】-14
【解析】做出约束条件的平面区域，如图所示：
联立 解得： ，即
由图可知：当直线 过点 时有最小值：
.故答案为 .
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
15. 如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由正弦定理得：，所以，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，即.
故本题正确答案为.
16. 对于函数与，若存在，，使得，则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意知，函数的零点为，设满足的零点为，因为，解得，因为函数图象开口向上，所以要使的一个零点落在区间上，则需满足
或，解得：或，取并集得：.
故本题正确答案为.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 己知数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（1）由与的关系，可求出数列的通项公式；（2）根据通项公式的特点，采用分组求和的方法，分别求等差和等比数列的和即可．
试题解析：
（1）当时，；当时，，也满足，故数列的通项公式为
（2）由（Ⅰ）可知，故，所以，记，，则 ..................
，故数列的前项和
18. 如图，在四棱锥中，底面梯形，，平面平面，是等边三角形，已知，，是上任意一点，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍.
【答案】(1)见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用线段，进而推得面平面平面．
（2）利用三棱锥平面与三棱锥的体积比，三棱锥与三棱锥的体积比，推导出三棱锥与三棱锥的体积比，进而解出的值.
试题解析：（1）证明：在中，由于，
∴,故．
又平面平面，平面平面，
，∴，
又，
故平面平面．
（2），
∴，解得．
19. 近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中指数的监测数据，统计结果如下：
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为(单位：元)，指数为.当在区间
内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成经济损失成直线模型（当指数为150时造成的经济损失为500元，当指数为200 时，造成的经济损失为700元)；当指数大于300时造成的经济损失为2000元.
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
（1）试写出的表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于500元且不超过900元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？
【答案】（1）；（2）；（3）有的把握认为空气重度污染与供暖有关.
【解析】试题分析：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；
（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；
（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．
试题解析：
（1）根据在区间对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当指数为150时造成的经济损失为500元，当指数为200时，造成的经济损失为700元）；当指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：
（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元”为事件，由，得，频数为39，,
（3）根据以上数据得到如下列联表：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
的观测值，
所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关.
20. 已知坐标平面上动点与两个定点，，且.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为8，求直线的方程.
【答案】（1），轨迹是以为圆心，以5为半径的圆；（2）直线的方程为或.
【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得，对其化简整理变形可得，由圆的标准方程即可得答案；
（2）分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在，②当直线l的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线l被C所截得的线段长度为8，可得关于k的方程，解可得k的值，综合即可得答案．
试题解析：
（Ⅰ）由题意，得，即：，
化简，得：，
所以点的轨迹方程是.
轨迹是以为圆心，以5为半径的圆.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，，
此时所截得的线段的长为.
所以符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
即，圆心到的距离，
由题意，得，解得.
所以直线的方程为，
即.综上，直线的方程为或.
21. 已知函数.
（1）证明：；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）实数的取值范围是.
【解析】试题分析：（1）令,再证明在定义域内小于等于零即可。
（2）令，对的取值进行分类讨论，然后判断的值是否符合题意，或者利用导数在分析函数单调性中的应用来找出的哪些取值符合题意即可.
试题解析：（Ⅰ）令,则
当所以
即在递增；在递减；
所以，
（Ⅱ）记则在上，，
①若，，时，，单调递增，，
这与上矛盾；
②若，，上递增，而，这与上矛盾；
③若，， 时，单调递减；时单递增；
∴，即恒成立；
④若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴，这与上矛盾；
⑤若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴这与上矛盾．
综上，实数的取值范围是．
点晴：本题考查的是导数在研究函数中的综合应用，第一问不等式的证明通过作差构造新的函数，利用导数知识证明其最大值小于等于零即可;第二问中 令，和第一问的区别在于中含有参数,利用导数在分析函数单调性中的应用来找出的哪些取值符合题意即可.
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆.
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围.
【答案】（1）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）的取值范围是.
【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），可得C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M（2cos，sin），由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围，结合圆的知识可得答案．
试题解析：
（1）消去参数可得的直角坐标方程为.
曲线的圆心的直角坐标为,
∴的直角坐标方程为.
（2）设，
则
.
∵，∴，.
根据题意可得，，
即的取值范围是.
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
23. 已知，，函数的最小值为4.
（1）求的值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【解析】试题分析：（1）运用绝对值不等式的性质，可得，结合条件即可得到所求值；
（2）由（1）可得b=4﹣a，代入所求式子可得a的二次函数，配方即可得到所求最小值．
试题解析：
（1）因为，，
所以，当且仅当时，等号成立，又，，
所以，所以的最小值为，所以.
（2）由（1）知，.
当且仅当，时，的最小值为.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
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