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2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研
一、填空题：共14题
1. 已知集合,则_____．
【答案】
【解析】由题意,得
2. 函数的定义域为_____．
【答案】
【解析】x应该满足：，解得：
∴函数的定义域为
故答案为：
3. 设命题;命题,那么p是q的____条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．
【答案】充分不必要
【解析】命题q：x2﹣5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，
∵命题p：x＞4；
故p是q的：充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
4. 已知幂函数在是增函数,则实数m的值是_____．
【答案】1
【解析】∵幂函数在是增函数
∴，解得：
故答案为：1
5. 已知曲线在处的切线的斜率为2,则实数a的值是_____．
【答案】
【解析】f′（x）=3ax2+，
则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，
故答案为：．
点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略
（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．
6. 已知等比数列中,,则_____．
【答案】4
【解析】设等比数列{an}的公比是q，
由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，
则a1=1，q2=2，
∴，
故答案为：4．
7. 函数图象的一条对称轴是,则的值是_____．
【答案】
【解析】因为函数图象的一条对称轴是,所以,又因为,则,即,解得
8. 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】∵函数f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上也单调递减，
又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0
∴不等式等价于①或②
解得：x∈（﹣2，0）∪（1，2），
故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．
9. 已知,则的值是_____．
【答案】
【解析】因为,
所以====
10. 若函数的值域为,则实数a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】当时,,则由题意,得当时,成立,则为增函数,且,即
11. 已知数列满足,则_____．
【答案】
【解析】∵，，
∴，，
∴，，
归纳猜想：
∴
故答案为：
12. 设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是_____．
【答案】
【解析】因为,所以,即,即,即,又因为D为的中点,且,所以,
即,即,则,则面积的最大值是
点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
13. 已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是___．
【答案】
【解析】因为,所以,则,因为对任意的实数,都存在唯一的实数,使,所以在上单调,且,则,则,所以,即实数的最小值是
点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。
14. 已知函数,若直线与交于三个不同的点(其中),则的取值范围是_____．
【答案】(1,e+)
【解析】作出函数，的图象如图：
设直线y=ax与y=lnx相切于（x0，lnx0），则，
∴曲线y=lnx在切点处的切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），
把原点（0，0）代入可得：﹣lnx0=﹣1，得x0=e．
要使直线y=ax与y=f（x）交于三个不同的点，则n∈（1，e），
联立，解得x=．
∴m∈（,），（﹣2，），
∴的取值范围是（1，）．
故答案为：（1，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、解答题：共12题
15. 已知函数的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为．
(1)求的值;
(2)求在上的最大值和最小值．
【答案】(1), ; (2)时,有最大值为;时,有最小值为0．
【解析】试题分析: 本题考查三角函数的图象和性质;(1)利用函数的相邻最值确定函数的周期,进而确定值,再利用函数图象与轴相切确定值;(2)利用三角函数的性质确定函数的最值.
试题解析：(1)∵图象上相邻两个最高点之间的距离为,
∴的周期为,
∴,
∴,
此时,
又∵的图象与x轴相切,∴,
∴;
(2)由(1)可得,
∵,∴,
∴当,即时,有最大值为;
当,即时,有最小值为0．
16. 在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,且．
(1)当时,求的值;
(2)若角为锐角,求m的取值范围．
【答案】(1)或; (2)．
【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解.
试题解析：由题意得．
(1)当时,,
解得或;
(2)=,
∵为锐角,∴,∴,
又由可得,
∴．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
17. 已知数列的前n项和是,且满足．
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列中,,若不等式对有解,求实数的取值范围．
【答案】(1); (2)．
【解析】试题分析：（1）利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）根据（1）的结论，进一步利用分离参数法的应用求出λ的范围．
试题解析：
解：（1）∵，∴，
∴，
又当时，由得符合，∴，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，∴通项公式为；
∴，
∴，即，即对有解，
设，
∵ ，
∴当时，，当时，，
∴ ，
∴，
∴.
18. 如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中为2米,梯形的高为1米,为3米,上部是个半圆,固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风)．
(1)设MN与AB之间的距离为且米,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积取得最大值?
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可．
（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
试题解析：
解：（1）当时，过作于（如下图），
则，，，
由，得，
∴，
∴ ；
当时，过作于，连接（如下图），
则，，
∴，
∴，
综上：；
（2）当时，在上递减，
∴；
2°当时， ，
当且仅当，即时取“=”，
∴，此时，∴的最大值为，
答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.
19. 已知函数．
(1)求过点的的切线方程;
(2)当时,求函数在的最大值;
(3)证明:当时,不等式对任意均成立(其中为自然对数的底数,)．
【答案】(1); (2) 当时,的最大值为;
当时,的最大值为;（3）见解析
【解析】试题分析：（1）设出切点坐标，表示出切线方程，代入点的坐标，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出F（x）的最大值即可；
（3）问题可化为m＞（x﹣2）ex+lnx﹣x，设，要证m≥﹣3时m＞h（x）对任意均成立，只要证h（x）max＜﹣3，根据函数的单调性证明即可．
试题解析：
解：（1）设切点坐标为，则切线方程为，
将代入上式，得，，
∴切线方程为；
（2）当时，，，
∴，，
当时，，当时，，
∴在递增，在递减，
∴当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
（3）可化为，
设，，要证时对任意均成立，只要证，下证此结论成立.
∵，∴当时，，
设，则，∴在递增，
又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线，
且，，
∴使得，即，，
当时，；当时，，；
∴函数在递增，在递减，
∴ ，
∵在递增，∴，即，
∴当时，不等式对任意均成立.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
20. 已知数列各项均为正数,,且对任意恒成立,记的前n项和为．
(1)若,求的值;
(2)证明:对任意正实数p,成等比数列;
(3)是否存在正实数t,使得数列为等比数列．若存在,求出此时和的表达式;若不存在,说明理由．
【答案】(1)9(2)见解析（3）．
【解析】试题分析：（1）根据，，且对任意恒成立，代值计算即可．
（2）a1=1，a2=2，且anan+3=an+1an+2对任意n∈N*恒成立，则可得，从而的奇数项和偶数项均构成等比数列，即可证明，
（3）在（2）中令，则数列是首项为3，公比为的等比数列，从而得到，．又数列为等比数列，解得，∴，，∴求出此时和的表达式.
试题解析：
解：（1）∵，∴，又∵，∴；
（2）由，两式相乘得，
∵，∴，
从而的奇数项和偶数项均构成等比数列，
设公比分别为，则，，
又∵，∴，即，
设，则，且恒成立，
数列是首项为，公比为的等比数列，问题得证；
（3）在（2）中令，则数列是首项为3，公比为的等比数列，
∴
，
且，，，，
∵数列为等比数列，∴
即即
解得（舍去），
∴，，
从而对任意有，
此时，为常数，满足成等比数列，
当时，，又，∴，
综上，存在使数列为等比数列，此时，.
21. 如图,AB为圆O的直径,C在圆O上,于F,点D为线段CF上任意一点,延长AD交圆O于．
(1)求证:;
(2)若,求的值
【答案】(1)见解析(2)4
【解析】试题分析: 本题考查直线和圆的位置关系、相似三角形;(1)利用等边三角形的性质进行证明;(2)利用等边三角形、相似三角形进行求解.
试题解析：(1)连接,∵,
∴,
又,∴为等边三角形,
∵,∴为中边上的中线,
∴;
(2)连接BE,
∵是等边三角形,
∴可求得,
∵为圆O的直径,∴,∴,
又∵,∴∽,∴,
即．
22. 已知矩阵,求的值．
【答案】
...........................
试题解析：矩阵A的特征多项式为,
令,解得矩阵A的特征值,
当时特征向量为,当时特征向量为,
又∵,
∴．
23. 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为．
(1)求直线和圆的直角坐标方程;
(2)若圆C任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为,求a的值．
【答案】(1); (2)或．
【解析】试题分析：（1）将t参数消去可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2带入圆C可得直角坐标系方程；
（2）利用点到直线的距离公式求解即可．
试题解析：
（1）直线的普通方程为；
圆的直角坐标方程为；
（2）∵圆任意一条直径的两个端点到直线的距离之和为，
∴圆心到直线的距离为，即，
解得或.
24. 设均为正数,且,求证:．
【答案】见解析
【解析】试题分析：作差再利用均值不等式得=
试题解析：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
，
= ，
所以．
考点：均值不等式
25. 在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下,第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下,同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．
(1)求甲拿到礼物的概率;
(2)设表示甲参加游戏的轮数,求的概率分布和数学期望．
【答案】(1); (2)见解析
【解析】试题分析：（1）甲拿到礼物的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲拿到礼物的概率．
（2）随机变量ξ的所有可能取值是1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列及数学期望．
试题解析：
（1）甲拿到礼物的事件为，
在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，
则，
答：甲拿到礼物的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值是1,2,3,4.
，
，
，
，
随机变量的概率分布列为：
所以.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.
26. (1)若不等式对任意恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设,试比较与的大小,并证明你的结论．
【答案】(1)．(2)
【解析】试题分析：（1）利用导函数分类讨论研究其单调性即可求解；
（2）在（1）中取a=1，得，令，上式即为，
，累加即可证明.
试题解析：
（1）原问题等价于对任意恒成立，
令，则，
当时，恒成立，即在上单调递增，
∴恒成立；
当时，令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，即存在使得，不合题意；
综上所述，的取值范围是.
（2）在（1）中取，得，
令，上式即为，
即，
上述各式相加可得.
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