湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷（五）理科数学试题Word版含解析.doc

www.ks5u.com ‎ 湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】,所以虚部为1.‎ 点睛: 本题主要考查了求复数的虚部,属于易错题. 对于复数 ,实部为 ,虚部为 , 不是.做错的原因是基础不牢靠.‎ ‎2. 若集合，非空集合，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合，由集合不为空集可得，即，由得，解得，故选D.‎ ‎3. 若，命题甲：“为实数，且”；命题乙：“为实数，满足，且”，则甲是乙的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若为实数，且，则取时，不满足且，若为实数，满足，且，则 ，所以甲是乙的必要而不充分条件,故选B.‎ ‎4. 表示求除以的余数，若输入，，则输出的结果为（ ）‎ A. 0 B. 17 C. 21 D. 34‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行程序框图，可得，不满足条件 ，不满足条件 ，，满足条件，退出循环，输出的值为，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎5. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，，，，则之间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意， ，，又，‎ ‎，故选D.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查函数的圆锥曲线的离心率、指数函数的性质、对数函数的性质及比较大小问题，属于难题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6. 若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.‎ ‎7. 下列选项中为函数的一个对称中心为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数 ，令，求得，可得函数的对称轴中心为，当时，函数的对称中心为，故选A.‎ ‎8. 九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则_____天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到0.1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）‎ A. 2.8 B. 2.6 C. 2.4 D. 2.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设蒲的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为，莞的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为，则 ，由题意可得，化为，解得（舍去），估计天后，蒲、莞长度相等，故选B.‎ ‎9. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为．若直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】按照分层抽样的特点,高一高二高三抽取的人数分别为.所以,直线方程为 ,即,圆心 到直线的距离 ,由于 ,所以圆的半径 ,故圆的方程为 ,选C.‎ ‎10. 已知，实数满足约束条件，且的最小值为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的区域如图，因为的几何意义是区域内的动点与连线的斜率，所以结合图形可以看出点与定点连线的斜率最小，其最小值为，解之得：，所以，应选答案C。‎ ‎11. 某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）‎ A. 16 B. 24 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种况；②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选.在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，则不同排课法的种数是种，故选A.‎ ‎12. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有7个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数有个零点，即函数的图象与有个交点，当时，，此时单调递减，且，由知函数图象关于对称，而是定义在上的偶函数，，故，即是周期为的函数，易知，当时，作出函数与的图象，如图所示，则要使函数的图象与的图象有个交点，需有，即，解得，同理，当时，可得，综上所述，实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ 第Ⅱ卷 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 若二次函数有两个零点、，则，类比此，若三次函数有三个零点、、，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若二次函数有两个零点，则，类比此，若三次函数有三个零点，则，故答案为.‎ ‎14. 若的展示式中的系数为4，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项式定理得，的系数为，，故 ，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎15. 如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，延长相交于，连接，交于，延长相交于，连接交于，可得截面五边形，是边长为的正方体，且分别是棱的中点， ，截面的周长为，故答案为.‎ ‎16. 已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 向量夹角为，对任意，有，两边平方整理可得，则，即有，即，则，由向量夹角为，由，即有，则，画出，，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ，表示与的距离之和的倍，当共线时，取得最小值，即有，故答案为.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数（Air Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：‎ 大于300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重 污染 重度污染 天数 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附：‎ ‎（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当在区间时企业正常生产；当在区间时对企业限产（即关闭的产能），当在区间时对企业限产，当在300以上时对企业限产，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：‎ ‎①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率；‎ ‎②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①．②万元．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据表格中的数据可完成列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据得出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论；（II）①根据古典概型概率公式可得“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过”的概率为，利用独立重复试验概率公式可得这一年中随意抽取天，天中被限产达到或超过的恰为天的概率，②根据期望公式可得企业甲这一年的利润的期望值为 万元.‎ 试题解析：（Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎23‎ ‎7‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎65‎ ‎5‎ ‎70‎ 合计 ‎88‎ ‎12‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关．‎ ‎（Ⅱ）①设“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过”为事件，‎ 据题意有频数为25，，‎ 则这一年中随意抽取5天，5天中被限产达到或超过的恰为2天的概率是：‎ ‎．‎ ‎②企业甲这一年的利润的期望值为 ‎ 万元，‎ 故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是万元．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查列联表、古典概型概率公式、离散型随机变量的期望以及独立性检验的应用，属于难题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎18. 已知锐角的三个内角、、满足 ．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由 ，根据正弦定理可得，再根据余弦定理可得，从而可求角的大小；（Ⅱ）根据向量减法的三角形法则及平面向量的数量积公式可得，根据是锐角三角形，可得，再由三角函数的有界性可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知有：，即，‎ 又是锐角，∴．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ ‎∵是锐角三角形，∴ ，则，‎ 故的取值范围是．‎ 另法：设是边的中点，，‎ 又 ，‎ ‎，‎ 据正弦定理得，则，‎ ‎∵是锐角三角形，当或取临界值时最小值是，‎ 当时最大值是．‎ 则，‎ ‎ ．‎ ‎19. 已知直角梯形中，，，，、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得平面，从而，结合，根据线面垂直的判定定理可得；平面，所以；（Ⅱ）作于，连，由（Ⅰ）知，即为与平面所成角，设，，而直线与平面所成角的正弦值是，即，以 为轴建立坐标系，取的中点，先证明平面的法向量是，再利用向量垂直数量积为零可得平面的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵， ，‎ ‎∴，，‎ 又，，‎ ‎∴平面，，‎ 又，，‎ ‎∴平面，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系，‎ 作于，连，由（Ⅰ）知，‎ 即为与平面所成角，设，，‎ 而直线与平面所成角的正弦值是，即．‎ ‎（或：平面的法向量是，，，，‎ 则）．‎ 易知平面平面于，取的中点，则平面，‎ 而，则平面的法向量是，‎ ‎（或另法求出平面的法向量是），‎ 再求出平面的法向量，‎ 设二面角是，则，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎20. 如图，已知曲线，曲线的左右焦点是，，且就是的焦点，点是与的在第一象限内的公共点且，过的直线分别与曲线、交于点和．‎ ‎（Ⅰ）求点的坐标及的方程；‎ ‎（Ⅱ）若与面积分别是、，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）． ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，设，据题意有，可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，结合，列方程组，解出的值即可得结果；（Ⅱ）易知，当不垂直于轴时，设的方程是，联立，得，根据韦达定理以及抛物线焦半径公式可得，联立得：，根据韦达定理及弦长公式可得，，结合斜率不存在的情况可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ），设，据题意有，‎ 则，，‎ 点在椭圆上及就是的焦点，则，解之得：，‎ 所以的方程是．‎ 或由计算出，从而得方程．‎ ‎（Ⅱ）易知，当不垂直于轴时，设的方程是，‎ 联立，得，，‎ 设，，则，；‎ 联立得：，‎ ‎ ，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎（或）‎ 则，‎ 当垂直于轴时，易知，，此时，‎ 综上有的取值范围是．‎ 设类似给分 ‎21. 已知函数，（为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数恰有两个不同极值点．‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），②见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得的最小值；（Ⅱ）①恰有两个极值点，等价于在上恰有两个不同零点，当时，在恒成立，在上单调递减，不合要求；当时，研究函数的单调性结合零点存在定理可得的取值范围，②不妨设，则有：，可得，令，原不等式等价于，，验证函数的最大值小于零即可得结论.‎ 试题解析：（Ⅰ），，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 即时，恒有，‎ 故在上单调递增，．‎ ‎（Ⅱ），要恰有两个极值点，‎ 等价于在上恰有两个不同零点．‎ ‎，‎ 当时，在恒成立，在上单调递减，不合要求；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 而，由，‎ ‎∴，，‎ 此时，，‎ 故当时，在与上各恰有一个零点，‎ 即当时函数有两个极值点．‎ 另法：考查 ‎②不妨设，则有：，两式相加与相减得：，‎ ‎，而，‎ ‎，令，‎ ‎，，，‎ 考查函数，，恒成立于，‎ 在上单调递增，则恒有．‎ 即，成立，‎ 故命题得证．‎ 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线的方程是，点是上的动点，点满足（为极点），点的轨迹为曲线，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，已知直线的参数方程是，（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线直角坐标方程与直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）求点到直线的距离的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）, ．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用可得到曲线直角坐标方程，利用代入法消去参数即可得到直线的普通方程；（Ⅱ）在直角坐标系中设，点到直线的距离，利用三角函数的有界性可得点到直线的距离的最大值.‎ 试题解析：（Ⅰ）设在极坐标系中，据有，‎ 代入的方程整理得：，‎ 再化为直角坐标方程是：即为所求．‎ 直线的参数方程，（为参数）化为普通方程是．‎ ‎（Ⅱ）由知，在直角坐标系中设，，‎ 点到直线的距离，‎ ‎∴．‎ ‎【名师点睛】本题考查直线的参数方程和普通方程的转化、椭圆极坐标方程和直角坐标方程的转化、椭圆参数方程的应用以及点到直线距离公式，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可............................‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 ‎（Ⅰ）已知函数．解不等式；‎ ‎（Ⅱ）已知均为正数．求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（Ⅱ）先利用基本不等式证明，直接用柯西不等式证明：‎ ‎ ，即．再利用分析法证明：即证，再证，从而可得结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）函数 ，‎ 当时，不等式为，∴，即；‎ 当时，不等式为，解得，即；‎ 当时，不等式为，∴．‎ 综合上述，不等式的解集为：．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为都为正数，‎ 所以①‎ 同理可得②‎ ‎③‎ 当且仅当时，以上三式等号都成立．‎ 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，‎ 得：．‎ 或直接用柯西不等式证明：‎ ‎ ，‎ 即．‎ 或要证即证，‎ 再证 ‎ ‎