湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题Word版含解析.doc

www.ks5u.com 湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（一）‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】=,又，所以 故选A.‎ ‎2. 已知，其中为虚数单位，，则（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以 ‎ 故选B ‎3. 已知等比数列是递增数列，是的前项和.若，则（ ）‎ A. 31 B. 32 C. 63 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为等比数列是递增数列，且，所以，，又 所以. ‎ 故选C ‎4. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）‎ A. 134 B. 866 C. 300 D. 500‎ ‎【答案】A ‎【解析】设大正方形的边长为，则根据直角三角形，其中一角为可得直角三角形短的直角边长为，长的直角边长为，即小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的边长为，米粒落在小正方形内的概率为 ∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000 ‎ 故选A ‎5. 已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．设x＜0，则-x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x2-x， ∴f（-x）=x2+x，又f（-x）=x2+x=-f（x），∴f（x）=-x2-x，x＜0． 当x＞0时，由f（x）＞0得x2-x＞0，解得x＞1或x＜0（舍去），此时x＞1． 当x=0时，f（0）＞0不成立． 当x＜0时，由f（x）＞0得-x2-x＞0，解得-1＜x＜0． 综上x∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.‎ ‎6. 展开式中的系数为（ ）‎ A. 10 B. 30 C. 45 D. 210‎ ‎【答案】B ‎【解析】（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10 的展开式的通项公式为 ‎，所以 或 ，故展开式中的系数为 故选B ‎7. 某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】把三视图还原为几何体是：底面是等腰直角三角形的直三棱柱，侧棱长为2，底面三角形直角边为2，斜边为2，取前后面的斜边中点连线的中点为点，则O为该三棱柱外接球的球心，由此求得球的半径为，所以球的表面积为.‎ 故选C ‎8. 已知表示不超过的最大整数，如.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 450 B. 460 C. 495 D. 550‎ ‎【答案】B ‎【解析】 所以输出的S为 ‎ 故选B.‎ ‎9. 已知函数（为整数）的图像如图所示，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于A：当时，，故A错误；‎ 对于B：当时，，，故B正确；‎ 对于C：当时， 故C错误；‎ 对于D：当时， 故D错误；‎ 利用排除法也知B正确；‎ 故选B ‎10. 已知的图像关于点对称，且在区间上单调，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的图像关于点对称， ‎ 解得，令kπ≤ωx≤π+kπ，解得，k∈Z； ∴f（x）在 上是单调减函数， ∵f（x）在上单调， 又∵ω＞0， ‎ ‎∴ω= ‎ 故选D ‎11. 已知抛物线和圆，直线与依次相交于 四点（其中），则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=-1．‎ ‎ 由定义得：|AF|=xA+1， 又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA， 同理：|CD|=xD， 当l⊥x轴时，则xD=xA=1，∴|AB|•|CD|=1， 当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0， ∴xAxD=1，则|AB|•|CD|=1． 综上所述，|AB|•|CD|=1， 故选A．‎ 点睛：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎12. 已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）‎ A. B. 3 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立直角坐标系如下：‎ ‎ ‎ 点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，则 因为为直角三角形，所以，斜边 ‎ ‎，当时取等号.‎ 故答案为.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知是边长为2的等边三角形，为边的中点，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵E为等边三角形ABCBC的中点，∴∠BAE=30°，AE=, ‎ 故答案为3‎ ‎14. 已知实数满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ ‎ 由z=2x+y得y=-2x+z， 平移直线y=-2x+z， 由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大， 此时z最大． 由将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y， 得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4． 故答案为4．‎ ‎15. 已知双曲线经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎.....................‎ 故答案为 ‎16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：=4+3(j−1)，‎ 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：=7+5(j−1)，‎ 第i行是首项为4+3(i−1)，公差为2i+1的等差数列，因此 ‎=4+3(i−1)+(2i+1)(j−1)=112，可得 ‎ ‎ 共7组解.‎ 故答案为7‎ 点睛：本题考查等差数列中某项出现次数的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，，点在边上，且为锐角，的面积为4.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边的长.‎ ‎【答案】(1)；(2)4.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三角形面积公式表示出三角形BCD面积，把BC，CD以及已知面积代入求出sin∠BCD的值，即可确定出cos∠BCD的值； （2）利用余弦定理列出关系式，把CD，BC，以及cos∠BCD的值代入求出DB的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ACD为直角三角形，利用含直角三角形的性质求出AC的长即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴.∴；‎ ‎（2）在中，，‎ 由余弦定理得：，即，‎ ‎∵，∴，即为直角三角形，‎ ‎∵，∴. ‎ ‎18. 如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形,,平面与平面垂直，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）推导出CB⊥BE，从而CB⊥面BDE，进而CB⊥ED，再由ED⊥AD，能证明ED⊥平面ABCD； （2）以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得，即得 ‎ 试题解析：‎ ‎（1)证明：因为平面与平面垂直 且，平面与平面的交线为 ‎ 所以面， ‎ 又面 所以，‎ 在矩形中， ‎ 又四边形为梯形， 所以与相交，‎ 故平面 ‎ ‎（2）由（1）知，垂直，垂直，又垂直，平行，所以垂直，如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间坐标系 ‎ ‎ 又，所以，‎ 设 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎ ，令，则 所以平面的法向量为 易知，平面的法向量为，‎ 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，‎ 即，解得，即 ‎ ‎19. 某协会对两家服务机构进行满意度调查，在两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.‎ 整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：‎ 定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:‎ ‎（1）在抽样的1000人中，求对服务机构评价“满意度指数”为0的人数；‎ ‎（2）从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；‎ ‎（3）如果从服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由 ‎【答案】(1)200；(2)0.3；(3)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由对B服务机构的频率分布直方图，得对B服务机构“满意度指数”为0的频率为0.2，由此能求出对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数; （2）设“对B服务机构评价‘满意度指数’比对A服务机构评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1；“对B服务机构评价‘满意度指数’为2”为事件B2；“对A服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A0；“对A服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件A1．P（C）=P（B1A0+B2A0+B2A1），由此能求出该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率; （3）如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看分别求出B服务机构“满意度指数”X的分布列和A服务机构“满意度指数”Y的分布列，由此能出结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由对服务机构的频率分布直方图，得 对服务机构“满意度指数”为0的频率为，‎ 所以，对服务机构评价“满意度指数”为0的人数为人.‎ ‎（2）设“对服务机构评价‘满意度指数’比对服务机构评价‘满意度指数’高”为事件.‎ 记“对服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件；“对服务机构评价‘满意度指数’为2” 为事件；“对服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件；“对服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件.‎ 所以，‎ 由用频率估计概率得：，‎ 因为事件与相互独立，其中.‎ 所以 所以该学生对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3 .‎ ‎（3）如果从学生对两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：‎ 服务机构“满意度指数”的分布列为：‎ 服务机构“满意度指数”的分布列为:‎ 因为； ‎ ‎，‎ 所以，会选择服务机构.‎ ‎20. 已知椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）证明：为等腰三角形.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点M分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得kMA+kMB=0，即可求得△MEF为等腰三角形．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由直线都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，椭圆的方程为。‎ ‎（2）设直线为：，‎ 联立:，得 ‎ 于是 ‎ 设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以为等腰三角形.‎ 点睛: 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在区间内有唯一的零点，证明：.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，‎ 且，于是： ①， ② ‎ 由①②得，设g(x)＝lnx−，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ ‎①当时，，在上单调递增 ‎ ‎②当时，设的两个根为，且 ‎ ‎ 在单调递増，在单调递减.‎ ‎（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，‎ 且. ‎ 于是： ①‎ ‎ ② ‎ 由①②得，设，‎ 则，因此在上单调递减，‎ 又， ‎ 根据零点存在定理，故.‎ 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是 (为参数).‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】(1).(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得．‎ ‎∵，,，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ ‎ 即；‎ ‎（2）将代入圆的方程得.‎ 化简得．‎ 设两点对应的参数分别为，则 ‎∴ , ‎ ‎ .‎ ‎∴, ‎ ‎∵∴或．‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围 ‎【答案】(1)或；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，再求它们的并集，本题也可移项平方去绝对值求解（2）分别作出图像及，再根据图像平移得参数取值范围 试题解析：解：（1）时，，‎ ‎∴当时，符合题意，‎ ‎∴当时，，解得；‎ 当时，符合题意，‎ 综上所述，的解集为．‎ ‎（2）‎ 设的图像和的图像如图所示：‎ 易知的图像向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图像始终有3个交点，从而．‎ 考点：绝对值定义，函数交点 ‎【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎ ‎ ‎ ‎