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石家庄市2018届高中毕业班教学质量检测（一）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3. 抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于8件 B．合格产品多于8件
C.合格产品正好是8件 D．合格产品可能是8件
5.在中，点在边上，且，设，，则 （ ）
A． B． C. D．
6.当时，执行如图所示的程序框图，则输出的值为 （ ）
A． 9 B． 15 C. 31 D．63
7. 若，函数的图像向右平移个单位长度后与函数图像重合，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
8.已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中面积最小是 （ ）
A． B． C. 2 D．
10.双曲线 的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C. 2 D．
11. 已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（ ）
A． 3 B． 6 C. 9 D．12
12.定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间
上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设，那么的值为 ．
14.若满足约束条件，则的最大值是 ．
15.三棱锥的各顶点都在同一球面上，若，，，侧面为正三角形，且与底面垂直，则此球的表面积等于 ．
16.如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列满足：，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：
（1）求的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在的同学人数位，写出的分布列，并求出期望.
19. 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.
（1）证明：平面；
（2）当时，二面角的余弦值为，求的值.
20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.
（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；
（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.
21. 已知函数.
（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的图像与轴没有交点，求实数的取值范围.
试卷答案
一.选择题
DBDDB CBACB BA
二.填空题
13. -1 14. 15. 16. 3
三.解答题
17. 解:（Ⅰ）由可得
累加法可得：
化简并代入得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设数列的前项和
则 ①
②
①-②
18. 解（Ⅰ）由题 解得
（Ⅱ）成绩在的同学人数为6，,在的同学人数为4，从而的可能取
值为0,1,2，3，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
19. （Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD为正方形
∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD
∴AB//平面PCD
又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF
∴EF // AB，又AB//CD
∴EF //CD，
由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点
连接BD交AC与G，则G为BD中点，
在△PBD中FG为中位线，∴ EG//PB
∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE
∴PB//平面ACE.
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，
∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AD=2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）
G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），
∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA ，
∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A
∴DG⊥平面CAF，
∴平面CAF的一个法向量为
设平面AFD的一个法向量为而
由得 取可得
为平面AED的一个法向量，
设二面角C—AF—D的大小为
则得
又 ∴
∴当二面角C—AF—D的余弦值为时.
20.解：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：
当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即
所以，椭圆长轴长为6.
（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为
当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：
设
由得
恒成立
设
当即时为定值
当直线AB斜率不存在时，不妨设
当时，为定值
综上：在X轴上存在定点，使得为定值
21.解：（Ⅰ）若，则，
当时，，，
当时，，
所以所求切线方程为。⋯⋯3分
（Ⅱ）由条件可得，首先，得，
而，
令其为，恒为正数，所以即单调递增，
而，，所以存在唯一根，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，只需即可，
又满足，代入上式可得
,
即：恒成立，所以。
法二
（Ⅰ）由条件可得，首先，得，
原式整理可得对任意恒成立.
设函数，则.
当时， ；当时， ；
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
所以.
于是，可知，解得.
故的取值范围是 ⋯⋯12分
或者：
因为，原式即，求导分析
22. （Ⅰ）由消去得：，
把代入，得，
所以曲线C的极坐标方程为
（Ⅱ）
即
圆C的圆心C（0，-1）到直线的距离
所以
23.
解：（Ⅰ）时，不等式可化为
或，
即或
（Ⅱ）当时，，要使函数与轴无交点，
只需即
当时，，函数与轴有交点.
当时，，要使函数与轴无交点，
只需此时a无解.
综上可知，当时，函数与轴无交点.
2017-2018年质检一理科答案
一.选择题
DBDDB CBACB BA
二.填空题
13. -1 14. 15. 16. 3
三.解答题
17. 解:（Ⅰ）由可得………2分
………4分
累加法可得：
化简并代入得：；………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设数列的前项和
则 ①
②
①-②……………………8分
………10分
18. 解（Ⅰ）由题 解得
……… 3分
……… 6分
（Ⅱ）成绩在的同学人数为6，,在的同学人数为4，从而的可能取
值为0,1,2，3，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
……… 10分
……… 12分
19. （Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD为正方形
∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD
∴AB//平面PCD
又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF
∴EF // AB，又AB//CD
∴EF //CD， ………………2分
由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点
连接BD交AC与G，则G为BD中点，
在△PBD中FG为中位线，∴ EG//PB ………………4分
∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE
∴PB//平面ACE. ………………6分
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，
∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AD=2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）
G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），
∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA ，
∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A
∴DG⊥平面CAF，
∴平面CAF的一个法向量为 ………………8分
设平面AFD的一个法向量为而
由得 取可得
为平面AED的一个法向量， ………………10分
设二面角C—AF—D的大小为
则得
又 ∴
∴当二面角C—AF—D的余弦值为时. ………………12分
20.解：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：
……………3分
当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即
所以，椭圆长轴长为6. ……………5分
（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为
当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：
设
由得
恒成立
……………7分
设
……………9分
当即时为定值 ……………11分
当直线AB斜率不存在时，不妨设
当时，为定值
综上：在X轴上存在定点，使得为定值 ……………12分
21.解：（Ⅰ）若，则，当时，，，当时，，所以所求切线方程为。⋯⋯3分
（Ⅱ）由条件可得，首先，得， ⋯⋯5分
而，
令其为，恒为正数，所以即单调递增，
而，，所以存在唯一根，
且函数在上单调递减，在上单调递增，⋯⋯8分
所以函数的最小值为，只需即可，
又满足，代入上式可得,⋯⋯10分
,
即：恒成立，所以。⋯⋯12分
法二
（Ⅰ）由条件可得，首先，得，⋯⋯5分
原式整理可得对任意恒成立.
设函数，则. ⋯⋯7分
当时， ；当时， ；
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
所以.⋯⋯10分
于是，可知，解得.
故的取值范围是 ⋯⋯12分
或者：
因为，原式即，求导分析
22. （Ⅰ）由消去得：，..............................................2分
把代入，得，.........................4分
所以曲线C的极坐标方程为......................................5分
（Ⅱ）.......................................................6分
即.......7分
圆C的圆心C（0，-1）到直线的距离,.....................................8分
所以.....................10分
23.
解：（Ⅰ）时，不等式可化为
或，..........................3分
即或............................................5分
（Ⅱ）当时，，要使函数与轴无交点，
只需即................................7分
当时，，函数与轴有交点............8分
当时，，要使函数与轴无交点，
只需此时a无解..........................9分
综上可知，当时，函数与轴无交点...............10分
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