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泉州市2017-2018学年高一上学期期末教学质量跟踪监测
高一数学试题参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2． 对计算题，当考生的解答在某一步 仅 出现 严谨性或规范性 错误时， 不要影响后续部分的判分； 当考生的解答在某一步出现 了将影响后续解答的严重性 错误 时 ，后继部分的解答不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设合集，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若,,三点共线，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3.已知自然对数的底数，在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4.已知圆，圆，则两圆的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C. 相交 D．外离
5.某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（ ）
A．与相交 B．与平行 C.与平行 D．与异面
6.下列函数中，既是偶函数且在区间上单调递增的函数是（ ）
A． B． C. D．
7.在正方体中，为线段的中点，则直线与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
8.如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉．后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空柱足，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证．
右图为鼎足近似模型的三视图（单位 :）．经该鼎青铜密度为（单位：），则根据三视图信息可得一个“柱足”的重量约为（重量=体积×密度，单位 :）
A． B． C. D．
9.若，则（ ）
A． B． C. D．
10.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C.1 D．2
11.已知直线，动直线，则下列结论错误的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为90°° B．对任意的，与都有公共点
C.对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直
12.在直角坐标系中，动圆经过点，且圆心在抛物线上.记圆被轴所截得的弦长为,则随着的增大，的变化情况是（ ）
A．恒为定值 B．一直减小 C. 一直增大 D．先减小，再增大
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知集合，则 ．
14.已知函数则 ．
15.两平行直线，若两直线之间的距离为 1 ，则 ．
16.在三棱锥中，正三角形中心为，边长为，面，垂足为的中点，与平面所成的角为45°.若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知直线，直线经过点且与垂直，圆.
(I)求方程；
(Ⅱ)请判断与的位置关系，并说明理由．
18. 已知函数的两零点为.
(Ⅰ)当时，求的值；
(Ⅱ)恒成立，求的取值范围．
19. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若,点为线段的中点．请在线段上找一点,使平面，并说明理由.
20.某公司为了研究年宣传费（单位：千元）对销售量（单位：吨）和年利润（单位：千元）的影响，搜集了近 8 年的年宣传费和年销售量数据：
1
2
3
4
5
6
7
8
38
40
44
46
48
50
52
56
45
55
61
63
65
66
67
68
(Ⅰ)请补齐表格中 8 组数据的散点图，并判断与中哪一个更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式？（给出判断即可，不必说明理由）
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的，且产品的年利润与，的关系为，为使年利润值最大，投入的年宣传费 x 应为何值？
21.如图，是边长为2的正三角形，平面,分别为的中点，为线段 上的一个动点．
(Ⅰ)当为线段中点时，证明：平面；
(Ⅱ)判断三棱锥的体积是否为定值？（若是，需求出该定值；若不是，需说明理由．）
22.在直角坐标系中，圆与轴相切于点，且圆心在直线上.
(Ⅰ)求圆的标准方程；
(II)设为圆上的两个动点，,若直线和的斜率之积为定值 2 - ，试探求的最小值．
参考答案
一、选择题
1-5: BCCAB 6-10:DDCAB 11、12：DA
二、填空题
13. 14.4 15. 16.
三、解答题
17.解(Ⅰ)直线的斜率为 2 ，
故直线的斜率为，
因为直线经过点，
所以直线的方程为：，即.
另解：
设直线方程为.
因为直线经过点，
所以，
解得，
方程为.
(II)由圆整理得，，
所以圆的圆心坐标为，半径为1.
设点到直线距离，
因为，
所以直线与圆相离.
18.解法一：
(I)令，得，
不妨设，解得，
，
所以.
(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，
(1)当即时，，符合题意；
(2)当，即时，
，故；
综合(1)(2)得.
解法二：
解(I)令，得，
根据一元二次方程根与系数的关系得，
，
，
故，
(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，
因为函数的图象过定点.
结合二次函数图象，原题意等价于.
解得.
解法三：
解(I)同解法一.
(II)当时，成立.
当，恒成立等价于.
考察函数，
在时，单调递减，故，
故.
19.解(I)在直四棱柱中，
∵平面平面，
∴,
又∵,
∴平面.
∵平面，∴.
(II)线段的中点即为所求的点[或：过作（或者）平行线交于点
].
理由如下：取线段的中点，连结.
∵, ∴,
又∵, ∴.
又∵在梯形中，,
∴四边形是平行四边形．
∴,
又∵,
∴
∵延长必过,∴四点共面，
∴不在平面内，即平面,
又∵平面，
∴平面.
20.解：(I)补齐的图如下：
由图判断，更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式.
(II)依题意得，，
化简得，
设，
则有.
（答）故当即投入的年宣传费千元时，年利润取到最大值（最大值为889).
21.解：(I)∵在中，分别为的中点∴.
∵平面平面,∴,
∴,
在正中，为线段中点，,
∴,
又∵, ∴平面.
(II)三棱锥的体积是定值.
理由如下：
∵平面,∴平面，
∴线上的点到平面的距离都相等.
,
∵,又平面且,
,
∴三棱锥的体积为.
22.解法一：
解：(I)因为圆与轴相切于点，所以圆心的纵坐标.
因为圆心在直线上，所以,
又由圆与轴相切，可得圆的半径为 2 .
所以的方程为：.
(II)依题意，知心不与重合，
故不妨设直线方程为：.
因为圆心到直线的距离为.
因为直线和的斜率之积为定值-2，
所以直线的斜率为：，
同的求解方法，可得，
所以，
化简得.
考察，
令，得.
由有正数解，且，
得，
解得.
故.
因为当时，可解得，
所以当时，因为当.
解法二：
解：(I)因为圆心在直线上，所以可设，
因为圆与轴相切，所以圆半径为，
故圆：.
因为圆经过点，所以，解得，
所以圆的方程为.
(Ⅱ)同解法一，.
令，考察函数，可得：
在是单调递减；在是单调递增．
故当时，取到最小值 9．
所以当两直线的斜率分别为和时，取到最小值.
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