数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的共轭复数为
C．的实数与虚部之和为 D．在平面内的对应点位于第一象限
4.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
5.若执行如图所示的程序图，则输出的值为（ ）
A． B． C. D．
6.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A． B． C. D．
7.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C. 若，，则
D．若，，，且，，则
8.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（ ）
A． B． C. D．
9.已知实数，满足，若的最大值为，则（ ）
A． B． C. D．
10.已知函数的最小正周期为，将曲线向左平移个单位之后，得到曲线，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C. D．
11.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：（）作切线，切点分别为，，若的最小值为，则（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数在上的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则实数 ．
14.的展开式中，的系数为 （用数字作答）．
15.若在各项都为正数的等比数列中，，，则 ．
16.已知抛物线：（）的焦点为，准线：，点在抛物线上，点在准线上，若，直线的倾斜角为，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，，求的值.
18. 随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续亿立方米的年增量.进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
（1）根据上图完成下列表格
空气质量指数（）
天数
（2）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在以及的等级中抽取天进行调研，再从这天中任取天进行空气颗粒物分析，记这天中空气质量指数在的天数为，求的分布列；
（3）以频率估计概率，根据上述情况，若在一年天中随机抽取天，记空气质量指数在以上（含）的天数为，求的期望.
19. 已知三棱锥中，垂直平分，垂足为，是面积为的等边三角形，，，平面，垂足为，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：，，三点共线.
21. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若，是方程（）的两个不同的实数根，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若曲线，相交于,两点，求线段的长度.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1-5:CADBA 6-10:BBCBA 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵.
∴由正弦定理，得.
∴.
.
又，∴.
又∵，.又，.
（2）据（1）求解知，∴.①
又，∴，②
又，∴据①②解，得.
18.解：（1）所求表格数据如下：
空气质量指数（）
天数
（2）依题意，从空气质量指数在以及的天数分别是；
故的可能取值为，，，，；
，，，，.
故的分布列为：
（3）依题意，任取天空气质量指数在以上的概率为.
由二项分布知识可知，，故.
19.（1）证明：∵垂直平分，垂足为，∴.
∵，∴是等边三角形.
又是等边三角形.
∴是中点，，.
∵，，平面，∴平面.
（2）解：由（1）知，平面平面.
因为平面与平面的交线为.
∵平面.∴.
又等边面积为，∴
又，∴ 是中点.
如图建立空间直角坐标系，
，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，取，则，.
即平面的一个法向量为.
所以与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）依题意，，故.
将代入中，解得，故椭圆：.
（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.
点，，，联立得.
即，，，
由题可得直线方程为，
又∵，.
∴直线方程为，
令，整理得
，即直线过点.
又∵椭圆的左焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上.
21.解：（1）依题意，
故当时，，当时，
故当时，函数有极小值，无极大值.
（2）因为，是方程的两个不同的实数根.
∴两式相减得，解得
要证：，即证：，即证：，
即证，
不妨设，令.只需证.
设，∴；
令，∴，∴在上单调递减，
∴，∴，∴在为减函数，∴.
即在恒成立，∴原不等式成立，即.
22.解：（1）曲线的普通方程为.
曲线的普通方程为.
（2）据得或
所以线段的长度为
23.解：（1）可化为，
所以，
所以，所以所求不等式的解集为.
（2）因为函数在上单调递增，
，，.
所以
所以，所以，所以.
即实数的取值范围 是
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