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江苏连云港市2017-2018高二数学上学期期末试卷(理科有答案

时间:2018-02-13 17:43:18作者:佚名试题来源:网络
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2017-2018学年度第一学期期末考试试题
高二数学
一、填空题(每题5分,满分70分,将答案填在答题纸上)
1.双曲线 的渐近线方程是          .
2.焦点为 的抛物线标准方程是          .
3.命题“若 ,则 ”的否命题为          .
4.等差数列 中, 为其前 项和,若 ,则           .
5.函数 的定义域是          .
6.已知实数 , 满足条件 则 的最大值是          .
7.在等比数列 中, , ,则           .
8.对任意的 ,都有 成立,则实数 的取值范围是          .
9.数列 满足 , ( ),则           .
10.函数 ( )的极小值是          .
11.过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 , 两点,若 ,则直线 的斜率为          .
12.已知 , ,且 ,则 的最小值是          .
13.已知 , 为椭圆 ( )的左、右焦点,若椭圆上存在点 使 ( 为半焦距)且 为锐角,则椭圆离心率的取值范围是          .
14.已知实数 , 满足 ,则 的最大值是          .
二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知实数 , : , : . 
(1)若 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围;
(2)若 ,“ ”为真命题,求实数 的取值范围.
16.如图,在正四棱柱 中, , ,点 是 的中点,点 在 上. 
(1)若异面直线 和 所成的角为 ,求 的长;
(2)若 ,求二面角 的余弦值.
 
17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为  、 的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池(如图),池边由两个半椭圆 和 ( )组成,其中 ,“挞圆”内切于矩形且其左右顶点 , 和上顶点 构成一个直角三角形 .
 
(1)试求“挞圆”方程;
(2)若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼,则该网箱水面面积最大为多少?
18.设 是公差为 ( )且各项为正数的等差数列, 是公比为 各项均为正数的等比数列, ( ).
(1)求证:数列 是等差数列;
(2)若 , , .
(i)求数列 与 的通项公式;
(ii)求数列 的前 项和 .
19.如图,在平面直角坐标系 中, 是椭圆  的右顶点, 是上顶点, 是椭圆位于第三象限上的任一点,连接 , 分别交坐标轴于 , 两点.
 
(1)若点 为左焦点且直线 平分线段 ,求椭圆的离心率;
(2)求证:四边形 的面积是定值.
20.已知函数  .
(1)若函数 的图象与直线 相切,求 的值;
(2)求 在区间 上的最小值;
(3)若函数 有两个不同的零点 , ,试求实数 的取值范围.

 

 

2017-2018学年度第一学期期末考试试题高二数学答案
一、填空题
1.  2.  3.若 ,则  4.27
5.  6.6 7.  8.  9.
10.  11.  12.4 13.  14.4
二、解答题
15.解:(1)因为 : ;
又 是 的必要不充分条件,所以 是 的必要不充分条件,
则 ,得 ,又 时 ,所以 .
(2)当 时, : ,
 : 或 .
因为 是真命题,所以
则 .
16.解:以 为原点, 为 轴正半轴, 为 轴正半轴, 为 轴正半轴,建立空间直角坐标系.
(1)则 , , , ,设 ,
所以 ,
因为 和 所成的角为 ,所以  ,
则 , ,
所以 .
(2)当 时,则 ,
设面 的法向量为 ,面 的法向量 ,
因为 , , ,
则 , ,∴
取 ,则 , ,则 ,
又 , ,∴
所以 , , ,则 ,
根据图形可知,二面角 平面角为锐角,等于这两个法向量的夹角,
所以其大小的余弦值为 .
17.解:(1)由题意知
解得 所以“挞圆”方程为:
 和 .
(2)设 为矩形在第一象限内的顶点, 为矩形在第二象限内顶点,
则 解得  ,
所以内接矩形的面积 ,
当且仅当 时 取最大值510.
答:网箱水面面积最大510 .
18.解:(1)因为 ,
所以 (常数),
由等差数列的定义可知数列 是以 为公差的等差数列. 
(2)(i)因 , , ,
所以 因 的各项为正数,所以
则 , .
(ii)因 , ,所以 ,
所以 ,①
  ,②
① ②得 
  ,
所以 .
19.解:(1)设椭圆焦距为 ,则 , ,直线 的方程为 ,
联立方程组   ,即 ,
所以 ,
又 中点  ,因 平分线段 ,所以 , , 三点共线,
则 ,所以 ,则     ,
所以 .
(2)设 ,则直线 的方程为 ,所以 ;
直线 的方程为 ,所以 ;
所以 , ,
因为 ,
则四边形 的面积
  ,
所以四边形 的面积是定值 .
20.解:(1)设切点 ,因切线方程为 ,
所以  ,①
又 ,②
由①得 ,③,将③代入②得 ,
所以 ,因为 在 上递增,则 是唯一根,
所以切点 ,代入切线方程得 .
(2)因为 ,
所以  ,因 ,
当 时, ,则 在 上单调递增;
所以 在 递增,则 ;
当 时, 有 , 有 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
则当 时, 在 递减,则 ;
当 时, 在 递增,则 ;
当 时, 在 递减,在 递增,则 .
综上有
(3)由(2)可知,当 时, 在 上单调递增,则 至多有一个零点,又当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,若 由两个相异零点,则必有 ,
即 ,则 .


 

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