2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟
期末联合考试
高三理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，下列集合中，不可能满足条件的集合是（ ）
A． B． C． D．
2.若复数为纯虚数，其中为实数，则（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
3.记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30 B．40 C． 50 D． 60
4.已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．2 B．3 C. D．
5.已知函数，下列函数中，最小正周期为的偶函数为（ ）
A． B． C. D．
6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的，，依次输入的的值分别为-1，-4，2，4，则输出的的值为（ ）
A． -2 B． 5 C. 6 D．-8
7.一个用铁皮做的烟囱帽的三视图如图所示（单位：），则制作该烟囱帽至少要用铁皮（ ）
A． B． C. D．
8.已知直线，直线经过点且不经过第一象限，若直线截圆所得的弦长为4，则与的位置关系为（ ）
A． B． C. 与相交但不垂直 D．与重合
9.已知，则的值为（ ）
A． B． C. D．2
10.当实数满足约束条件表示的平面区域为，目标函数的最小值为，而由曲线，直线及轴围成的平面区域为，向区域内任投入一个质点，该质点落入的概率为，则的值为（ ）
A． B． C. D．
11.已知双曲线：的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. 2 D．3
12.已知函数有唯一零点，则负实数（ ）
A． B． C. -3 D．-2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 的展开式中，的系数为 ．
14.非零向量满足，，则 ．
15.已知命题，命题，且为假命题，则实数的取值范围为 ．
16.已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 的内角的对边分别为，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）函数，求的单调递增区间.
18. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为，若每个人各上一盘饺子，记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为，假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子.
（1）求随机变量的分布列；
（2）若的数学期望分别记为、，求.
19. 已知抛物线的焦点也是椭圆：的右焦点，而的离心率恰好为双曲线的离心率的倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）各项均为正数的等差数列中，，点在椭圆上，设，求数列的前项和.
20. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是弧上的一点，点是弧的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）当且时，求二面角的正弦值.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，曲线与轴交于点，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点的极坐标为，求的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求实数的最小值.
2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟期末联合考试
高三理科数学参考答案及评分细则
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
C
A
D
B
A
A
B
D
C
二、13、 14、4 15、 16、
三、17. 解：(1) .
,
.
.
.,
.
, .(6分).
(2)由(1)知又.
由正弦定理得
又, .(8分)
. (10分)
由解得，.
故的递增区间为 (12分)
18. 解(1)随机变量的可取值为0,1,2,3,4
故随机变量X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
P
(2)随机变量X服从超几何分布:;
~
随机变量.
(12分)
19.解(1)依题意可得:，
,.故椭圆E的方程为.(5分)
(2)点在椭圆E上,,又，
,又是等差数列,.
或,当时,,与矛盾.
.(9分)..
.(12分)
20.(1)证明:在圆B中,点P为的中点,.
又平面,,而,
平面,又
平面平面(6分).
(2)解:以点B为坐标原点,分别以BC,BA为轴,轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则.设平面的法向量
由
(8分)
设平面的法向量，
由
.（10分）设二面角的平面角大小为，
则,.
21.解:(1)当时，，
=
切线的斜率，又，
故切线的方程为，即（3分）.
（2）且,
()当时,,.
当时,;当时,.
故在上单调递减,在上单调递增.
()当,有两个实数根.
①当时,,故时,时
时,.
故在上均为单调增函数,在上为减函数.
②当时,, ，
当且仅当时,,故在上为增函数.
③当时,.当时,当时，故在上为增函数，在（1，）上为减函数，综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在
、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；当时，在、上为单调递增；在上单调递减（8分）.
（3）当，由（2）知，，.
又.
.
设则.
当时，故在上递减，而故当时，.
又，又在
上单调递减；.
.
22.解：（1）直线的参数方程为（为实数） ，①+②得，故的普通方程为.
又曲线的极坐标方程为，即9，
. ，即，（5分）
（2）点P的极坐标为，的直角坐标为（-1，1）.
点P到直线的距离.
将，代入中得.
设交点、对应的参数值分别为，则，.
∴△PAB的面积.
23.解：（1）当时，
又
故在上递减，在上递增
由得，由得.
故当时，.
不等式的解集为.
（2）由得.
由得
故当时，
，.故的最小值为5.
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