陕西省西安市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案.doc

数学（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ）‎ A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C.充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.，且，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为，那么判断框中应填入（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知公差不为的等差数列满足，，成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.的展开式中的系数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，‎ ‎；则的实轴长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，,…，.则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数，（，，）满足，且，则下列区间中是的单调减区间的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为 石；（结果四舍五入，精确到各位）．‎ ‎14.设，满足约束条件则取得最大值时的最优解为 ．‎ ‎15.已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如右图所示，则该几何体的体积是 ．‎ ‎16.若对于曲线上任意点处的切线，总存在上处的切线，使得，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 若向量，，其中.记函数，若函数的图象上相邻两个对称轴之间的距离是.‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）设三内角、、的对应边分别为、、，若，，，求的面积.‎ ‎18. 某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为，，（），设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为，都未取得优秀成绩的概率为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）设为该同学取得优秀成绩的课程门数，求的分布列和数学期望.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，平面，求直线与平面所成角的大小.‎ ‎20. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设，为椭圆上任意两点，为坐标原点，且.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值.‎ ‎21. 已知函数（，为自然对数的底数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，函数在区间上为增函数，求整数的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点、的极坐标分别为、，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线只有一个交点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式对于任意的恒成立.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下求函数的最小值.‎ 数学（理）参考答案 一、选择题 ‎1-5:ADCBB 6-10:CDBAC 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17..解：（1）∵，‎ ‎∴‎ 由题意可知其周期为，，即，‎ ‎∴‎ ‎（2）由，得 ‎∵，∴，‎ ‎∴ ，解得 又∵，，由余弦定理得，‎ ‎∴，即 ‎∴由面积公式得面积为 ‎18.（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件、、‎ ‎∴，，‎ 由已知条件可知：，‎ ‎∴又，则，‎ ‎（2）∵，，；，‎ ‎∴的分布列为 ‎19.解：（1）设的中点为，连接，，‎ 则，而 ‎∴∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴，而平面，平面 ‎∴平面；‎ ‎（2）由（1）知，，因为平面 所以平面，而，平面 ‎∴‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面，平面 ‎∴，而，，所以平面 ‎（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）‎ 由题意，，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，的方向为轴，轴，轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系 在三角形中平面，而平面，知，而的中点为知，则，，，，‎ ‎，，为平面的一个法向量.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 所以直线与平面所成角为.‎ ‎20.解：（1）由题意知，，，又，‎ 所以，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为.‎ 此时，原点到直线的距离为.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.‎ 由得 则，‎ ‎，‎ 则，由得，即，‎ 所以，即，‎ 所以原点到直线的距离为 综上，原点到直线的距离为定值.‎ ‎21.解：（1）由得 当时，，所以在上为增函数；‎ 当时，时，，时，，‎ 所以在为减函数，在为增函数，‎ ‎（2）当时，‎ 则 若在区间上为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.‎ 令，；则，；‎ 令，则 当时，，则在单调递增 而，‎ 所以函数在只有一个零点，设为，‎ 即时，，即；时，，即，‎ ‎∴，，有最小值，‎ 把代入上式可得，‎ 又因为，所以，‎ 又恒成立，所以，又因为为整数，所以，‎ 所以整数的最大值为.‎ ‎22.解：（1）∵点、的极坐标分别为、，‎ ‎∴点，的直角坐标分别为、，‎ ‎∴直线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由曲线的参数方程（为参数），化为普通方程为，‎ ‎∵直线和曲线只有一个交点，‎ ‎∴由点到直线的距离公式得半径 ‎23.解：（1）∵关于的不等式对于任意的恒成立，可得 ‎∴根据柯西不等式，有 ‎∴，当且仅当时等号成立，故.‎ ‎（2）由（1）知，则 ‎∴‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以函数的最小值为