无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷
数学
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）
1.已知集合，，若，则实数 ．
2.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数 ．
3.某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 ．
4.已知，直线，，则直线的概率为 ．
5.根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为 ．
6.直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
7.已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为 ．
8.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则 ．
9.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为 ．
10.过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为 ．
11.已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为 ．
12.在平行四边形中，，，，为的中点，为平面内一点，若，则 ．
13.已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是 ．
14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.如图，是菱形，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
16.在中，角的对边分别为，，.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
17.如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.
（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；
（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.
18.已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；
（3）求过点的圆方程（结果用表示）.
19.已知数列满足，，是数列的前项的和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；
（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.
20.已知函数，，其中.
（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；
（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；
（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.
数学（加试题）
说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值
的一个特征向量为.求矩阵.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.
23.某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.
该公司所在地区汽车限行规定如下：
（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；
（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.
24.在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.
（1）求二面角的正弦值；
（2）试在平面上找一点，使得平面.
试卷答案
一、填空题
1.3 2.6 3.47 4. 5.21 6. 7.5 8. 9.1024 10.19 11.8 12.6 13. 14.
二、简答题（本大题共6小题，共90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.解：（1）证明：因为平面，所以.
因为是菱形，所以，
因为
所以平面.
（2）证明：设，取中点，连结，
所以，且.
因为，，所以且，
从而四边形是平行四边形，.
因为平面，平面，
所以平面，即平面.
16.解：（1）因为，
所以
.
在中，因为，所以，
因为，所以，
所以.
（2）根据正弦定理，所以，
又，所以，.
，.
所以的周长为15.
17.解：（1）由题意，，所以，
又，
所以观光专线的总长度
，，
因为当时，，
所以在上单调递减，
即观光专线的总长度随的增大而减小.
（2）设翻新道路的单位成本为，
则总成本，，
，
令，得，因为，所以，
当时，，当时，.
所以，当时，最小.
答：当时，观光专线的修建总成本最低.
18.解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以，，
所以直线的方程为，
又到直线的距离为，所以，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，
直线的方程为，
由，整理得，
解得：，则点的坐标是，
因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，
，
，
则，解得.
所以直线的方程为.
（3）因为，，，
所以的垂直平分线，
的垂直平分线为，
所以过三点的圆的圆心为，
则过三点的圆方程为，
即所求圆方程为.
19.解：（1）因为，，
所以当时，，，
当时，
由和，
两式相除可得，，即
所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.
于是，.
（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，
所以，于是，或.
当时，，解得，
当时，，无正整数解，
所以，.
（3）假设存在满足条件的正整数，使得，
则，
平方并化简得，，
则，
所以，或，或，
解得：，或，，，（舍去），
综上所述，或14.
20.（1）设切点为，，则切线斜率为，
所以切线方程为，因为切线过，
所以，
化简得，解得.
当时，切线方程为，
当时，切线方程为.
（2）由题意，对任意有恒成立，
①当时，，
令，则，令得，
，故此时.
②当时，恒成立，故此时.
③当时，，
令，
，故此时.综上：.
（3）因为，即，
由（2）知，
令，则
当，存在唯一的整数使得，
等价于存在唯一的整数成立，
因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，
所以.
当，存在唯一的整数使得，
等价于存在唯一的整数成立，
因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，
所以当时，没有整数成立，所有.
综上：.
数学Ⅱ（附加题）
21.解：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，
，即；
得，
由矩阵属于特征值的一个特征向量为，
可得，即；
得，
解得.即，
22.解：由，得，所以，
即圆的方程为，
又由，消，得，
由直线与圆相交，
所以，即.
23.解：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，
则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车
.
∴.
答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.
（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4
；
；
；
；
.
.
答：的数学期望为.
24.解：（1）因为底面，过作，则，
以为坐标原点，方向为轴的正半轴，
方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
设平面的法向量为，则，
，解得，又平面的法向量为，
所以，
所以.
（2）设点的坐标为，因为平面，
所以，即，也即，，
又，，，
所以，
所以得，，即，
，，所以，
所以点的坐标为.
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