2017年秋期高中一年级期终质量评估
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图是水平放置的的直观图，轴，，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3.函数是定义域为的偶函数，当时，，则当时，的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C.若，，则 D．若，，则
5.两条直线，互相垂直，则的值是（ ）
A．3 B． -1 C. -1或3 D．0或3
6.已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C. D．
7.若实数满足，则的最小值是（ ）
A． B．1 C. D．5
8.设对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. 或 D．
9.已知圆与圆相外切，为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
10.若且，则（ ）
A． 1 B．2 C. 3 D．4
11.已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C. 或 D．
12.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.点关于平面的对称点的坐标为 ．
14.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
15.已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，那么直线的方程为 ．
16.圆柱形容器内盛有高度为
的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （1）求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程.
（2）已知直线和点，过点作斜率为的直线与相交于点，且，求斜率的值.
18. 已知.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围.
19. 如图，在正方体中，分别是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的比值；若不存在，说明理由.
20. 已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
21. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，.
（1）求证：平面；
（2）设线段的中点分别为，求异面直线与所成角的正弦值；
（3）求二面角的大小.
22.已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足，求直线的方程.
2017秋期终高一数学
参考答案
一、 选择题
BCCDC DCAAB DB
二、填空题 13. 14. （0，1） 15. x=﹣3或5x﹣12y+15=0 16. 3
三、 解答题
17.解：（1）由，得交点坐标为
因为直线平行于直线，所以直线的斜率为-2
所以，直线的方程为，即.
（2）设直线的方程为，
即直线的方程为
因为直线与相交于点，联立方程组，解得点的坐标为
又，解得
18.解：（1）由函数的定义域为可得:
不等式的解集为，∴解得，
∴所求的取值范围是：.
（2）由函数在区间上是递增的得：
区间上是递减的，
且在区间上恒成立；.
则，解得.
19.（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，又M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD．∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，
∴BB1⊥平面ABCD，∵MN⊂平面ABCD，∴BB1⊥MN，
∵BD∩BB1=B，∴MN⊥平面BB1D1D，
∵MN⊂平面B1MN，∴平面B1MN⊥平面BB1D1D．.
（2） 解：在棱DD1上存在一点P满足D1P：DP=1：3．
设MN与BD的交点是Q，连接PQ，∵BD1∥平面PMN，BD1⊂平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面PMN=PQ，
∴BD1∥PQ，∴D1P：DP=BQ：QD=1：3
20.解：（1）：∵f（x）是定义在R上的奇函数．
∴，
∴a=2．
∴，
∴，
∴f（x）是定义在R上的奇函数．
∴a=2．
（2）由题意得，当x≥1时，
即恒成立，
∵x≥1，
∴2x≥2，
∴恒成立，
设t=2x﹣1（t≥1），
则
设，
则函数g（t）在t∈[1，+∞）上是增函数．
∴g（t）min=g（1）=0，
∴m≤0，
∴实数m的取值范围为m≤0．
21.解：（1）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，
平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°又因为∠AEF=45°，
所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．
因为BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．
（2）取BE的中点N，连结CN，MN，
则，
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．
所以∠NCB为PM与BC所成角（或其补角）
正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，设AE=a，BN=．BC=a，所以NC=，在直角三角形NBC中，．
（3）由（1）知BC⊥平面ABEF．所以BC⊥AB, BC⊥EB, 因此，∠EBA为二面角E﹣BC﹣D的平面角．又因△ABE是等腰直角三角形，所以∠EBA=45°
故二面角E﹣BC﹣D的大小为45°．
22.解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），
∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切
∴=3．
解得a=2，或a=﹣8（舍去），
所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9
（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），
此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意
当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，
由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，
整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0.........................................................（1）
所以
由已知得：
整理得：7k2﹣24k+17=0，∴
把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，
判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，
即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0
综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0
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