天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试
高三数学（理）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
3.设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.阅读如图所示的程序框图，若输入的分别为1，2，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
A． B． C. D．
5.已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的两条渐近线的夹
角为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C. 或 D．或
6.在中，内角的对边分别为，已知，且，，则等于（ ）
A． B． C. 2 D．
7.如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，则的值为（ ）
A． 17 B．13 C. 5 D．1
8.已知函数（其中是自然对数的底数），若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.已知为虚数单位，则 ．
10.在的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为 ．
12.已知曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则 ．
13.在平面直角坐标系中，已知抛物线（为参数）的焦点为，动点在抛物线上，动点在圆（为参数）上，则的最小值为 ．
14.已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
16.某大学现有6名包含在内的男志愿者和4名包含在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.
（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的概率；
（2）设表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望.
17. 在如图所示的几何体中，，，，
，，二面角的大小为.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的角（锐角）的大小；
（3）若为的中点，求直线与平面所成的角的大小.
18. 已知是等比数列，满足，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为 ， ，求正整数的值，使得对任意均有.
19. 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.
20. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试
高三数学（理）参考答案
一、选择题:
1－8CABDC CDB
二、填空题：
9． 10． 11． 12． 13．3 14．
三、解答题：
（15）解：（Ⅰ）
所以，所以的最小正周期为．
（Ⅱ）由，得，
所以当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
且当，即时，，此时；
当，即时，，此时;
当，即时，，此时;
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值
（16）解：（I）记参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的事件为，
则基本事件的总数为，
事件包含基本事件的个数为，
则.
(II)由题意知可取的值为：.
则
因此的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望是
=
（17）解：方法一：（I）因为，则，，
所以为二面角的平面角，即，
在中，，，，
所以，所以，即，
由，，且，可知平面，
又平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（II）由平面得，，又，即，，
两两垂直，
则以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
由（I）知， 则，，，
由得，
依题意，，
设平面的一个法向量为，
则，即，不妨设，可得，
由平面可知平面的一个法向量为
设平面与平面所成的角（锐角）为，
所以，于是，
所以平面与平面所成的角（锐角）为．
（III）若为的中点，则由（II）可得，所以，
依题意平面，可知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则
，所以直线与平面所成角的大小．
方法二：（I）因为，则，，
所以为二面角的平面角，即，
在中，，，，
所以，所以，即，
由，，且，可知平面，
又平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）令的延长线的交点为，连。则平面平面，
∴二面角即平面与平面所成的角（锐角）
∵∥，，∴是的中位线，∴，
∴为正三角形。
令的中点为，连。易知，且
在直角中，，
在直角中，，∴，∴，
∴是二面角的平面角。
在直角中，，∴
∴平面与平面所成的角（锐角）为
（Ⅲ）∵，∥，∴，即。
又∵是正的边的中点，∴，
∵是平面内的两条相交直线∴平面。
∴是直线与平面所成的角。显然。
∵∥，∴直线与平面所成的角为
（18）解：（Ⅰ）设数列的公比为，则由条件得：，
又，则，
因为，解得：，
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
则 ①
②
①- ②得：
所以
则，则
由
得：当时，；
当时，；
所以对任意，且均有，故
（19）解：（Ⅰ）由题意知，则，
圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，
所以，又，得．
所以椭圆的方程为：.
（Ⅱ）可知椭圆右焦点．
（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，
可得：，，四边形面积为12.
（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，
可得：，，四边形面积为.
（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，并设，.
由得.
显然，且， .
所以.
过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，
所以.
故四边形面积：.
可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,).
综上，四边形面积的取值范围为．
20.解：（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且.
（1）当时， ，所以在上单调递增.
（2）当时，由得：，
则当时；当时.
所以在单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）不是导函数的零点.
证明如下：由（Ⅰ）知函数.
∵，是函数的两个零点，不妨设，
∴，两式相减得：
即：
又.
则
.
设，∵，∴，
令，.
又，∴，∴在上是増函数，
则，即当时，，
从而，
又所以，
故，所以不是导函数的零点.
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