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泉州市2017-2018学年度上学期高中教学质量跟踪监测
高二文科教学（必修5+选修1-1）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列抛物线中，准线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
2.若是实数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.若等差数列中，则（ ）
A． B． C． D．或
4.下列关于命题的说法正确的是（ ）
A．若是真命题，则也是真命题
B．若是真命题，则也是真命题
C.“若则”的否命题是“则”
D．“”的否定是“”
5.若双曲线的中心在原点，离心率，左焦点是，则的渐近线的距离是（ ）
A． B． C. D．
6.设满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角非等腰三角形 C.等边三角形 D．等腰钝角三角形
8.若函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个极值点 B．和都是的极值点
C.和都是的极值点 D．，，都不是的极值点
9.若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C. D．
11.《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走天，共走了里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第天行走距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数）．（ ）
A． 里 B．里 C.里 D．里
12.若定义在的函数的导数满足，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，则的最小值为 ．
14.若数列的前项和则 ．
15.双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为，若,则双曲线的离心率为 ．
16.据气象部门报道，台风“天秤”此时中心位于地，并以千米每小时的速度向北偏西的方向移动，假设距中心千米以内的区域都将受到台风影响.已知地在地的正西方向，地在地的正西方向，若小时后，两地均恰好受台风影响，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点.
（I）求的标准方程；
（Ⅱ）若为坐标原点，是的焦点，过点且倾斜角为的直线交于，两点，求的面积.
18. 已知等差数列的前项和是，等差数列的各项均为正数，且.
（I）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
19. 如图，在梯形中，,对角线,,.
（I）求的长；
（Ⅱ）若,求梯形的面积.
18. 已知函数
（I）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，试求出的取值范围.
19. 椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点
（I）求的方程；
（Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）
20. 已知函数
（I） 若，求在处的切线方程；
（II） 证明：对任意正数，函数和的图像总有两个公共点.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（I）依题意可设抛物线的方程是
因为抛物线过点，所以，解得，
所以抛物线的方程
（Ⅱ）法一：
由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，
联立方程化简，得
设则，
利用弦长公式得.
点到直线的距离，
所以的面积为.
法二：
由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，
联立方程化简，得
设则，
采用割补法，则的面积为
法三：
由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，
联立方程化简，得
设由韦达定理，得.
利用抛物线定义，得
点到直线的距离，
所以的面积为.
18. （I）由
解得
所以
因为所以
因为是各项均为正数的等比数列，
所以
所以
（Ⅱ）
所以
所以
18. （I）因为,所以
所以
由得：
解得：
（Ⅱ）法一：
由余弦定理，得
即解得：或（舍去）.
在中，由余弦定理，得
即：解得,
又梯形的高
所以
法二：同法一求得，
又故
故
19. （I）当时，函数
令即解得
令解得或
所以当时，函数的单调递增区间是，
单调递减区间是和.
（Ⅱ）法一：
函数在上单调递增，
等价于在区间恒成立，
等价于在区间恒成立.
等价于
令
因为
所以函数在区间上单调递增，
故
所以的取值范围是
法二：
函数在上单调递增，
等价于在区间恒成立，
令
则命题等价于在区间恒成立.
（1） 当时，由解得
（1） 当时因为函数图像的对称轴
此时只有满足，解得.
综上所述的取值范围是
18. （I）依题意有：
所以
所以椭圆的方程为：
（Ⅱ）法一：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则
若存在点满足条件，则点心在轴上，设，
联立
则，
由于
所以
又
所以
则
即
故坐标平面上存在定点，满足
法二：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则的中心
依题意，只要探究的垂直平分线和轴的交点是否为定点.
联立
则，
所以，直线：
令得：为定值，
故坐标平面上存在定点，满足.
22.（I）时，则
在处的切线的斜率
又时，即切点，
所以在处的切线方程为：
，即
（Ⅱ）法一：
记
则（已知）.
因为有意义，
所以
所以在单调递减，在单调递增，
故
记
因为
所以在单调递增，在单调递减，
故
故恒成立，即
又时，时，，
故在和各有一个零点，
即和的图像在和各有且只有一个公共点.
法二：函数和的图像总有两个公共点，等价于总有两个实数根.
显示不是该方程的根.
当时，
记
则
再记
因为
所以在单调递增，在单调递减
所以
即
从而在和均单调递增，
又时，时，时，，
又时，时，时，，
的草图如图：
故对任意的正数，直线与的图像总有两个公共点，
即方程总有两个根，
即函数和的图像总有两个公共点，命题得证.
A
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