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中学生标准学术能力诊断性测试2018年2月测试
数学理科试卷
本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共.12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 、
1.已知集合A={}，B=={}，则集合
{}的元素个数为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2.设随机变量服从正态分布, 若，则函数有极值点的概率是
A. 0.2 B.0.7 C.0.3 D.0.8
3.下列命题中：
（1）“”是“”的充分不必要条件
（2）命题“若a, b都是奇数，则a + b是偶数”的逆否命题是“若a+ b不是偶数，则a，b都不是奇数”
（3）命题“，都有”的否定是“,使得”
（4）已知p，q为简单命题，若是假命题，则是真命题。正确命题的个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.设{an}是公差为2的等差数列，bn=a2n ,若{bn}为等比数列，其前n顼
和为Sn，则Sn为
A. B. C. D.
5.若函数，（e为自然数的底数），对任意实数，恒成立，则实数a的取值范围是
A.（-∞，1] B.（1.+∞） C.（e,-∞） D.[1.+∞）
6. 设, 则等于
A.-240 B.-120 C.240 D.120
7. —个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(,1，0)，绘制该四面体三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为
8.如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中 “表示所除以的余数），若输入的 ，分别为2016，612，则输出的 =
A. 0 B. 72
C. 36 D. 180
9.函数 的图像大致是
10.已知抛物线C: ，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P,Q两点，且P,Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN=
A. B. C. D.
11.已知函数的图象在点处的切线与直线
垂直，记数列{}的前n项和为，则的值为
12,已知函数有三个不同的零点，，（其中＜＜），则的值为
A. 1 B.a-1 C.-1 D. 1-a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. O为△ABC内一点，且，△ABC和△OBC的面积分别是
= 。
14.设实数满足，则的取值范围是 。
15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，△AOB的面积为，则P= 。
16.如图，三棱锥P-ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB 中点，DE∩PB=E，且DE丄AB，若∠EDC=,PA=,PB=,则三棱锥P一 ABC的外接球的半径为 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考題，考生根据要求作答。
(―)必考题：共60分。
17.(12分)在△ABC中，角A，B,C对应的边分别为a，b，c，己知c = 2.b = 1，且 .
(1)求角A的大小和BC边的长；
(2)若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d, 设点P到BC的距离分别为x,y，试用x,y表示d，并求d的最大值和最小值。
18.( 12分）如图，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD中，BC∥AD，CD丄AD,P在底面的射影0在AD上，PA = PD，O,E 分别为AD,PC的中点，且P0=AD = 2BC = 2CD.
(1)求证：AB⊥DE； ;
(2) 求二面角A-PE-O的余弦值。
19. (12分)今年某台风在沿海登陆，适逢暑假，小张调査了当地某小区
100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成（0,2000]，
(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：
(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
(1)将上述调查所得到的频率视为概率*现在从该地区大量受灾居民中，釆用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为。若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望E()和方差D（）.
20. (12分)已知椭圆M: ,右焦点为F，与直线相交于P、Q两点，若椭圆从经过点(0，)且PF丄QF.
(1)求椭圆M的方程；
(2) 0为坐标原点，A、B、C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试求△ABC的面积。
21. (12分）已知函数.
(1)若a=1，求的单调区间；
(2)若恒成立，且，求证： .
(二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。半圆C (圆心为点C）的参数方程为为参数，.
(l)求半圆C的极坐标方程；
(2)若一直线与量坐标轴的交点分别为A,B,其中A(0，-2),点D在半圆C上，且真线CD的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4,
点D的直角坐标。
23.[选修 4-5 不等式选讲] （10分）
已知函数
⑴若 m = -2 时，解不等式；
(2)若，求m的最小值。
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