天门
仙桃
潜江
绝密★启用前
试卷类型：A
2017—2018学年度第一学期期末联考试题
高三数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．
1．设集合，，，则中的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为
A． B． C． D．
3．设i为虚数单位，则下列命题成立的是
A．复数是纯虚数
B．在复平面内对应的点位于第三限象
C．若复数，则存在复数，使得
D．，方程无解
4．等比数列的前n项和为，已知，则
A． B． C． D．
5．已知曲线在点处切线的斜率为8，则
A．7 B．－4 C．－7 D．4
6．的展开式中的系数是
A．56 B．84 C．112 D．168
7．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
A．4cm3
B．5 cm3
C．6 cm3
D．7 cm3
8．函数的图像如图所示，则
的值等于
A． B．
C． D．1
9．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24
这24个整数中等可能随机产生。则按程序框图正确编程运行时输
出y的值为3的概率为
A． B．
C． D．
10．从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为
A． B． C． D．
11．已知三点共线，则的最小值为
A．11 B．10 C．6 D．4
12．已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD
各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S10，则
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．已知向量，的夹角为，，则在方向上的投影为 ▲ ．
14．若实数x，y满足，则目标函数的最小值为 ▲ ．
15．如图是椭圆与双曲线的公共焦点，A，
B分别是在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2
为矩形，则的虚轴长为 ▲ ．
16．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC
的中点，点P在线段D1E上，点Q在线段CC1上 ，则线
段PQ长的最小值为 ▲ ．
三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．
17．（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
18.（本题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，，连接CE并延长交AD于F．
（Ⅰ）求证：AD⊥CG；
（Ⅱ）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
19.（本题满分12分）
如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
20.（本题满分12分）
如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，两点．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，，过
P、作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．
若，求圆Q的标准方程．
21.（本题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值M．
请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．
22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程】
已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．
(Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程；
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】
已知函数，其中.
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)已知关于的不等式的解集为，求的值．
天门、仙桃、潜江2017－2018学年度第一学期期末联考
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：1—5 BDCAB 6—10 DACCC 11—12 AC
二、填空题：13． 14． 15．2 16．
三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
17．解：（Ⅰ）由已知得，
即有………………………………………3分
因为，∴．又，∴．
又，∴，∴………………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理，有．
因为，有………………………9分
又，于是有，即有………………………12分
18．解：（Ⅰ）在△ABD中，因为点E是BD的中点，
∴EA=EB=ED=AB=1，
故…………………………………1分
因为△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，
从而有…………………………………2分
∴，故EF⊥AD，AF=FD．
又PG=GD，∴FG//PA．又PA⊥平面ABCD，
∴GF⊥AD，故AD⊥平面CFG…………………………………………5分
又平面CFG，∴AD⊥CF…………………………………………6分
（Ⅱ）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则
…………7分
故，，
．
设平面BCP的法向量，
则，解得，
即…………………………………………………………9分
设平面DCP的法向量，
则解得
即．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为
……………………………………12分
19．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）．
根据题意，，且…………………………2分
（Ⅰ）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．
∴…………………………4分）
（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且
，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
………………6分
故X的数学期望……………………8分
（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12分
20．解：（Ⅰ）由题意知，在椭圆上，
则，从而………………………………………1分
由，得，从而．
故该椭圆的标准方程为…………………………………………4分
（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设．
又设是椭圆上任意一点，则
…………………………………………6分
设，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，
因此，上式当时取最小值．
又因为，∴上式当时取最小值，
从而，且．因为，且，
∴，即…………8分
由椭圆方程及，得，
解得，从而．………10分
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
…………………………12分21．解：（Ⅰ）当时，，
……………………………………2分
由，解得．
由，解得．
由，解得．
∴函数的单调增区间为，
单调减区间为…………………………………………………………6分
（2）因为，∴．
令，解得……………………………………8分
因为，∴，∴．
设，，
，∴在上是减函数，
∴，即．
∴，随x的变化情况如下表：
－
0
＋
↘
极小值
↗
∴函数在[0，k]上的最大值为或．
，
因为，∴．
令，则．
对任意的，的图象恒在的图象的下方，
∴，即…………………………………………10分
∴函数在上为减函数，
故，
∴，即．
∴函数在的最大值………………12分
22．解：(Ⅰ) 依题意有…………………………2分
因此 ……………………………………3分
M的轨迹的参数方程为（为参数，）……5分
(Ⅱ) M点到坐标原点的距离…………7分
当时，，故M的轨迹过坐标原点………………………………10分
23．解：(Ⅰ)当时，………………………………1分
当时，由得，解得…………2分
当时，无解……………………………………3分
当时，由得，解得…………4分
∴的解集为…………………………5分
(Ⅱ)记，则
………………………………………………7分
由，解得……………………………………9分
又已知的解集为，
∴，于是…………………………………………………10分
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