17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点1 勾股定理的证明
1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2.
2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
解：图形的总面积可以表示为
c2＋2×ab＝c2＋ab，
也可以表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，
∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab.
∴a2＋b2＝c2.
知识点2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C)
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2
4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则AB的长为(C)
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A．4 B.
C. D．5
5．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2 cm，则另一条直角边的长是(C)
A．4 cm B．4 cm
C．6 cm D．6 cm
6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴72＋242＝c2.
∴c2＝49＋576＝625.
∴c＝25.
(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴42＋b2＝72.
∴b2＝72－42＝49－16＝33.
∴b＝.
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AC＝2，求AD的长．
解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°
＝75°.
(2)∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
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∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°.
∴AD＝CD.
根据勾股定理，得AD＝.
02 中档题
9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C)
A．5 B．6 C．8 D．10
第9题图 第10题图
10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)
A．48 B．60 C．76 D．80
11．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A．3 B．6 C．3 D.
第11题图 第14题图
12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C)
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝3．
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15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15.
(1)求AB的长；
(2)求CD的长．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
∴AB＝＝＝25.
(2)∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.
∴20×15＝25CD.∴CD＝12.
17．(2016·益阳)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于点D，
设BD＝x，用含x
的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用
AD作为“桥梁”，建
立方程模型求出x.→
15
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2.
∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.
∴AD＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
03 综合题
18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是()2017．
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第2课时 勾股定理的应用
01 基础题
知识点1 勾股定理在平面图形中的应用
1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(D)
A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m
第1题图 第2题图
2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．
3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE.
解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝＝＝20(米)．
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．
答：风筝的高度CE为21.6米．
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4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：设码头所在的位置为C，1.5 h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则
AC与正北方向的夹角为45°，BC与正北方向的夹角为45°，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，∵AC＝16×＝24(海里)，AB＝30海里．
由勾股定理，得 BC2＝AB2－AC2＝302－242＝324.解得BC＝18.
∴18÷＝12(海里/小时)．
答：乙船每小时航行12海里．
知识点2 勾股定理与方程的应用
5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.
设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.
在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，
∴x2＋22＝(x＋0.5)2.
解得x＝3.75.
∴水深3.75尺．
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6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？
解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.
设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.
由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.
∴CD＝(30－x)m.
在Rt△ACD中，∠A＝90°，
由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，
∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.
∴AD＝10＋5＝15(m)．
故这棵树有15 m高．
知识点3 两次勾股定理的应用
7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C)
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
第7题图 第8题图
8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．
02 中档题
9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草 (D)
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A．4 B．6 C．7 D．8
第9题图 第10题图
10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.
第11题图 第12题图
12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．
13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h.
解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝＝＝150.
h＝220－150＝70(cm)．
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∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.
14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.
∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝＝＝100(m)．
在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.
∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．
∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.
∴此车超过每小时80千米的限制速度．
03 综合题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.
15
∴BC＝4 cm.
(2)由题意，知BP＝t cm，
①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.
解得t＝.
∴当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝.
15
第3课时 利用勾股定理作图
01 基础题
知识点1 在数轴上表示无理数
1．在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)．
解：略．
知识点2 网格中的无理数
2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)
A．5
B．6
C．7
D．25
知识点3 等腰三角形中的勾股定理
3．在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求等腰三角形的边上的高与面积.
解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝13 cm，
∴BD＝CD＝BC＝×10
＝5(cm)．
15
∴AD＝＝
＝12(cm)．
∴S△ABC＝BC·AD＝×10×12＝60(cm2)．
02 中档题
4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)
A．(1，1，)
B．(，1)
C．(，)
D．(1，)
5．(2017·成都)如图，数轴上点A所表示的实数是－1．
第5题图 第6题图
6．(2017·乐山)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离．
7．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴CB＝CD，
∠CDE＝∠DCE＝60°.
15
∴∠BDC＝∠DBC＝∠DCE＝30°.
∴∠BDE＝90°.
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，
DB＝＝＝4.
03 综合题
8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.
OA＝()2＋1＝2，S1＝；
OA＝()2＋1＝3，S2＝；
OA＝()2＋1＝4，S3＝；
…
求：
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
解：(1)OA＝()2＋1＝n，Sn＝(n为正整数)．
(2)OA＝()2＋1＝10，∴OA10＝.
(3)S＋S＋S＋…＋S
＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()2
＝＋＋＋…＋＋
＝
15
＝
＝.
15
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