18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
01 基础题
知识点1 平行四边形的概念
1．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个．
第1题图 第2题图
2．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有3个平行四边形，它们分别是▱ABCE，▱ABGC，▱AFBC．
知识点2 平行四边形的边、角特征
3．(教材P43T1的变式)在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于(A)
A．10 cm B．6 cm
C．5 cm D．4 cm
4．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
5．在▱ABCD中，两邻边的差为4 cm，周长为32 cm，则两邻边长分别为10__cm，6__cm．
6．(1)在▱ABCD 中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝100°；
(2)已知▱ABCD 的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝6__cm，BC＝8__cm．
7．如图，在▱ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．
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解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠DMC＝90°.
∴∠BCN＝∠DCM＝45°.
∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝45°.
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF.
知识点3 平行线间的距离
9．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法不正确的是(D)
A．AB＝CD
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B．EC＝GF
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
第9题图 第10题图
10．(2016·柳州)如图，若▱ABCD的面积为20，BC＝5，则边AD与BC间的距离为4．
02 中档题
11．在▱ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是(A)
A．2∶5∶2∶5 B．3∶4∶4∶5
C．4∶4∶3∶2 D．2∶3∶5∶6
12．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(B)
A．7 B．10 C．11 D．12
第12题图 第13题图
13．如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积(C)
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
14．(2017·鹤岗)在▱ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD的周长是(C)
A．22 B．20
C．22或20 D．18
15．(2017·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为30°．
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第15题图 第16题图
16．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为25°．
17．如图，在▱ABCD 中，点P是对角线BD上的一个动点(点P与点B、点D不重合)，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积始终相等的平行四边形有3 对．
18．(2016·温州)如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)．
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF＝3.
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAF＝90°.
在▱ABCD中，AD＝BC＝5，
19
∴DE＝＝＝4.
∴CD＝2DE＝8.
03 综合题
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，AD＝BC，AB＝DC.
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°.
(2)∵AP平分∠DAB，AB∥CD，
∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA.
∴AD＝DP＝5 cm.
同理：PC＝BC＝AD＝5 cm.
∴AB＝DC＝DP＋PC＝10 cm.
在Rt△APB中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，
∴BP＝＝6(cm)．
∴△APB的周长为6＋8＋10＝24(cm)．
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第2课时 平行四边形的对角线性质
01 基础题
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是(C)
A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
第1题图 第2题图
2．(教材P44T1的变式)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(B)
A．13 B．17
C．20 D．26
3．如图，在▱ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
第3题图 第4题图
4．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为(C)
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于3.
6．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是1＜OA＜4．
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7．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AM＝CN，
∴OM＝ON.
在△BOM和△DON中，
∴△BOM≌△DON(SAS)．
∴∠OBM＝∠ODN.
∴BM∥DN.
知识点2 平行四边形的面积
8．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则▱ABCD的面积是(C)
A．10 B．15
C．20 D．25
第8题图 第9题图
9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则▱ABCD的面积为12cm2.
02 中档题
10．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是(C)
A．18 B．28
19
C．36 D．46
第10题图 第11题图
11．如图，▱ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则▱ABCD的面积为(B)
A．60 cm2 B．30 cm2
C．20 cm2 D．16 cm2
12．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)
A．14 B．13 C．12 D．10
第12题图 第13题图
13．如图，若▱ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD＝4__cm，AB＝7__cm.
14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．
15．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.
(1)求AC的长；
(2)求▱ABCD的面积．
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解：(1)∵AO∶BO＝2∶3，
∴设AO＝2x，BO＝3x
(x＞0)．
∵AC⊥AB，AB＝2，
∴(2x)2＋(2)2＝(3x)2.
解得x＝2.
∴AO＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝8.
(2)∵S△ABC＝AB·AC
＝×2×8
＝8，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2×8＝16.
16．(2016·本溪)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO和△BEO中，
19
∴△DFO≌△BEO(ASA)．
∴OE＝OF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵△BEC的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴C▱ABCD＝2(BC＋AB)＝20.
03 综合题
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，则对角线PQ长度的最小值为(D)
A．6
B．8
C．2
D．4
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
01 基础题
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)
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A．1
B．2
C．3
D．4
2．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3．下面给出四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
4．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．108°，72°，108°
知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO(AAS)．
∴BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，
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求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD.
∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8．如图所示，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是平行四边形，理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
9．(2016·新疆)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB(AAS)．
∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
02 中档题
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10．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是(A)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
11．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝4或－2．
12．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：连接BD交AC于O，
∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.
又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．
13．(2017·南京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.
证明：连接BE，DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴OE＝OF.
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14．(2016·张家界)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
解：四边形ABFC是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(AAS)．∴AB＝CF.
又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形．
03 综合题
15．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
解：设当P，Q两点同时出发t s后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm(0≤t≤15)．
①若四边形ABQP是平行四边形，
∵AD∥BC，∴还需满足AP＝BQ.
∴t＝30－2t.解得t＝10.
∴10 s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
∵AD∥BC，∴还需满足PD＝CQ.
∴24－t＝2t.解得t＝8.
∴8 s后四边形PQCD是平行四边形．
综上所述：当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．
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第2课时 三角形的中位线
01 基础题
知识点 三角形的中位线
1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)
A．2 B．4
C．6 D．8
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C)
A．8 B．10
C．12 D．14
第2题图 第3题图
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)
A．5 B．7
C．9 D．11
第4题图 第5题图
5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是40m.
6．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.
第6题图 第7题图
7．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝2．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．
(1)求∠A的度数；
(2)求EF的长．
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解：(1)∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
(2)在Rt△ABC中，
∠A＝30°，AB＝8 cm，
∴BC＝AB＝4 cm.
∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF＝BC＝2 cm.
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，
∴DF，DE为△ABC的中位线．
∴DF∥BC，DE∥AC.
∴四边形DECF是平行四边形．
02 中档题
10．如图，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是(C)
A．DE＝DF
B．EF＝AB
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C．S△ABD＝S△ACD
D．AD平分∠BAC
11．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C)
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
第11题图 第12题图
12．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(B)
A．7 B．8
C．9 D．10
13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．
第13题图 第14题图
14．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是18°．
15．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接BD.
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝BD，EH∥BD.
同理FG＝BD，FG∥BD.
∴EH＝FG，EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
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16．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE∥BC，且OE＝BC.
又∵CF＝BC，
∴OE＝CF.
又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF.
∴四边形OCFE是平行四边形．
03 综合题
17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求线段DH的长．
解：∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠FAH＝∠CAH.
∵CH⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHC＝90°.
在△AHF和△AHC中，
∴△AHF≌△AHC(ASA)．
∴AF＝AC，HF＝HC.
∵AC＝3，AB＝5，
∴AF＝AC＝3，BF＝AB－AF＝5－3＝2.
∵AD为△ABC的中线，
19
∴DH是△BCF的中位线．
∴DH＝BF＝1.
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