18.2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的性质
1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
第2题图 第3题图
3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)
A．8 B．6 C．4 D．2
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)
A．30° B．60° C．90° D．120°
第4题图 第5题图
5．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(A)
A．3 cm B．6 cm
C．10 cm D．12 cm
6．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．
7．如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝2．
30
第7题图 第8题图
8．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．
9．(2016·岳阳)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BFE＋∠BEF＝90°.
∵EF⊥DF，∴∠DFE＝90°.∴∠BFE＋∠CFD＝90°.
∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)．∴BF＝CD.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝5cm.
第10题图 第11题图
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝5cm.
12．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长.
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解：由题意得：DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC.
∵HF是Rt△AHC的斜边AC的中线，
∴HF＝AC.
∴HF＝DE＝5 cm.
02 中档题
13．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
第13题图 第14题图
14．(2016·绵阳)如图，▱ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为(B)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
15．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18° B．36°
C．45° D．72°
30
第15题图 第16题图
16．(2016·宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)
A．4.8 B．5
C．6 D．7.2
17．(2017·广西四市同城)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)．
∴AE＝CF.
(2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形．
∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12.
在Rt△ABC中，BC＝＝6，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6＝36.
30
18．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE.求证：
(1)四边形ADBE是平行四边形；
(2)若AB＝4，OB＝，求四边形ADBE的周长．
证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上，
∴AD∥BE，AD＝BE.
∴四边形ADBE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD.
∴BD＝2OB＝5.
在Rt△BAD中，AD＝＝3.
又∵四边形ADBE为平行四边形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5.
03 综合题
19．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为2cm.
30
习题解析
30
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．下列说法正确的是(D)
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形．
3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCB.
又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，
30
∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.
又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．
(2)四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．能判断四边形是矩形的条件是(C)
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等
D．两条对角线互相垂直
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由．
解：四边形EFGH是矩形．
理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AO＝CO＝BO＝DO.
30
∵点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EO＝FO＝GO＝HO.∴OE＝OG，OF＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
7．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
8．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC
＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.
同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
02 中档题
9．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)
A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
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B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)
A．2 B．3
C．4 D．4
第11题图 第12题图
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．
13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
30
(2)∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.
∴∠DAF＝∠CGF.
又∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠DAF＝∠EGA.
∴EA＝EG.
14．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：(1)∵在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥CB，
∴∠A＝∠EBC.
在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC(SAS)．
(2)∵在▱ABCD中，AB∥ CD，且AB＝BE，
BE CD.∴四边形BECD为平行四边形．
∴OB＝BC，OE＝ED.
∵∠BOD＝2∠A＝2∠EBC，
且∠BOD＝∠EBC＋∠BEO，
∴∠EBC＝∠BEO.∴OB＝OE.∴BC＝ED.
∴四边形BECD是矩形．
30
03 综合题
15．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
视频讲解
解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.
∴OF＝OC.
同理可证：OC＝OE.
∴OE＝OF.
(2)由(1)，知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
∵(∠OCF＋∠OCE)＋(∠OFC＋∠OEC)＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.
∴EF＝＝＝13.
又∵OE＝OF，
∴OC＝EF＝.
(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．
理由：连接AE，AF.
当点O移动到AC中点时，OA＝OC，
又∵OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形．
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18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
01 基础题
知识点1 菱形的性质
1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)
A．∠ADB＝∠CDB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝AD
第2题图 第3题图
3．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为(C)
A．1 B.
C．2 D．2
4．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D)
A．10 B．8 C．6 D．5
5．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是16．
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE和AF有什么样的数量关系？说明理由．
30
解：AE＝AF.
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD.
又∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴BE＝BC，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE＝AF.
知识点2 菱形的面积
7. (2016·宁夏)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(A)
A．2 B. C．6 D．8
第7题图 第8题图
8．(2017·宜宾)如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是24．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD.
30
∵在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，
∴CD＝2OD＝4，
OC＝＝＝2.
∴AC＝2OC＝4.
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8.
02 中档题
10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于(A)
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米
第10题图 第11题图
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于(A)
A．3.5 B．4
C．7 D．14
12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(C)
习题解析
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
13．(2017·南充)已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)
30
A．2 B.
C．3 D．4
14．(2017·东营)如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为2．
15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长．
解：(1)∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠ABD＝60°.
(2)由(1)可知BD＝AB＝4，
又∵O为BD的中点，∴OB＝2.
又∵OE⊥AB，∠ABD＝60°，
∴∠BOE＝30°.
∴BE＝OB＝1.
16．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
30
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD.
又∵DE⊥BD，
∴DE∥AC.
又∵AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝＝5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
03 综合题
17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：(1)连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
30
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°.
∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.
又∵BC＝CD，
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
(2)连接AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC.
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，
∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ACF＝∠BCD＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
30
第2课时 菱形的判定
01 基础题
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
第1题图 第2题图
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形．
∴∠FAD＝∠EDA.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED.
∴四边形AEDF是菱形．
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO
30
＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
5．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．
求证： 四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO.
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD.
∴AB＝AD.
∴四边形ABCD为菱形．
知识点3 四条边相等的四边形是菱形
6．(2016·大庆)下列说法正确的是(D)
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
30
7．(2017·宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD.
由折叠性质得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.
∴∠DAM＝∠AMD.
∴DA＝DM＝AB＝BM.
∴四边形ABMD是菱形．
02 中档题
8．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(D)
A．AB＝AC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．BE平分∠ABC
9．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于
30
AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(B)
A．矩形 B．菱形
C．一般的四边形 D．平行四边形
第9题图 第10题图
10．(2016·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为(A)
A．2 B．4
C．4 D．8
11．(2016·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. 求证：
(1)∠CEB＝∠CBE；
(2)四边形BCED是菱形．
证明：(1)∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD.
∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD.
∴∠CEB＝∠CBE.
(2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.
由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD.
又∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．
又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．
12．(2016·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC
30
的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．
证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE.
在△AFE和△CDE中，
∴△AFE≌△CDE(AAS)．∴AF＝CD.
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵点E是AC的中点，AC＝2AB，∴AE＝AB.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠BAD.
又∵AD＝AD，∴△AED≌△ABD(SAS)．
∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC.
∴四边形ADCF是菱形．
03 综合题
13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.
(1)求证：AD＝BC；
(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．
证明：(1)延长DC至K，使CK＝AB.连接BK.
∵AB CK，
∴四边形ABKC是平行四边形．
30
∴AC BK.∴∠ACD＝∠K.
∵BD＝AC，AC＝BK，
∴BD＝BK.∴∠BDC＝∠K.
∴∠ACD＝∠BDC.
在△ACD和△BDC中，
∴△ACD≌△BDC(SAS)．
∴AD＝BC.
(2)分别连接EH，HF，FG和GE.
∵E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线．
∴EH＝AD.
同理：GF＝AD，EG＝BC，HF＝BC.
又由(1)知AD＝BC，∴EH＝HF＝FG＝GE.
∴四边形EHFG是菱形．
∴线段EF与线段GH互相垂直平分．
30
18.2.3 正方形
01 基础题
知识点1 正方形的性质
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为(C)
A．3 B．12
C．18 D．36
第2题图 第3题图
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)
A．14 B．15
C．16 D．17
4．如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为(C)
A．50°
B．55°
C．70°
D．75°
5．(2016·龙岩)如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，
30
则∠CME＝45°.
第5题图 第6题图
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为150°．
7．(2016·哈尔滨中考改编)已知，如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.求证：AP＝BQ.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°.
∴∠BAQ＋∠DAP＝90°.
∵DP⊥AQ，
∴∠APD＝90°.∴∠ADP＋∠DAP＝90°.
∴∠ADP＝∠BAQ.
∵AQ⊥BE，∴∠BQA＝90°.
在△DAP和△ABQ中，
∴△DAP≌△ABQ(AAS)．∴AP＝BQ.
知识点2 正方形的判定
8．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
9．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是(D)
30
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
10．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，分别延长OA，OC 到点E，F，使AE ＝CF，依次连接B，F，D，E各点．
(1)求证：△BAE≌△BCF；
(2)若∠ABC ＝50°，则当∠EBA ＝20° 时，四边形BFDE 是正方形．
证明：∵在菱形ABCD 中，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA.∴∠BAE＝∠BCF.
在△BAE和△BCF 中，
∴△BAE≌△BCF(SAS)．
02 中档题
11．(2016·台州)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(B)
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
12．(2017·兰州)在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是①③④．
13．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是－2．
30
14．已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)求∠CEF的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠B＝∠ADC＝90°.
在△CDF和△CBE中，
∴△CDF≌△CBE(ASA)．
∴CE＝CF.
(2)∵△CDF≌△CBE，
∴∠DCF＝∠BCE.
∴∠ECF＝∠DCB＝90°.
∵CF＝CE，
∴∠CEF＝45°.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．
解：(1)证明：∵点O为AB的中点，
30
∴OA＝OB.
又∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形AEBD是矩形．
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD.
又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD.
∴矩形AEBD是正方形．
03 综合题
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
解：(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB.
∴AC∥DE.
又∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
30
∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由：
∵D为AB中点，∴AD＝BD.
又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE.
又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
又∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形．
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.
又∵D为AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°.
又∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
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